回帰の定義自然3次スプライン

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私はHastieらによる「統計学習データマイニング、推論、および予測の要素」という本からスプラインについて学んでいます。145ページで、Natural 3次スプラインが境界の結び目を越えて線形であることを発見しました。スプラインにはノット、があり、本のそのようなスプラインについては次のとおりです。 $K$ $\xi_1, \xi_2, ... \xi_K$

質問1： 4自由度はどのように解放されますか？私はこの部分を取得しません。

質問2：の定義において場合次いで。この式で著者がやろうとしていることは何ですか？これは、スプラインが境界ノットを超えて線形であることを確認するのにどのように役立ちますか？ $d_k(X)$ $k=K$ $d_K(X) = \frac 0 0$

— デュリン
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まず、通常の3次スプラインを考えてみましょう。ノットの各ペアの間は立方体で、境界ノットの外側は立方体です。最初のキュービック（最初の境界ノットの左側）の4dfから開始し、各ノットは1つの新しいパラメーターを追加します（キュービックスプラインと導関数の連続性と2次導関数は3つの制約を追加し、1つの自由パラメーターを残します）。のパラメータノット。 $K+4$ $K$

自然な3次スプラインは両端で線形です。これにより、3次および2次部分が0に制限され、それぞれdfが1ずつ減少します。つまり、曲線の両端で2 dfになり、が減少します。 $K+4$ $K$

ノンパラメトリック曲線の推定に自由度の合計数（など）を費やすことができると決めたと想像してください。自然なスプラインを課すことは、通常の3次スプラインよりも4少ない自由度（同じノット数）を使用するため、これらのパラメーターを使用すると、境界ノット間の曲線をモデル化するために、さらに4ノット（したがって4パラメーター）を持つことができます。 $p$ $p$
の定義はあることに注意してください（すべてに基底関数があるため）。したがって、そのリストの最後の基底関数、です。したがって、定義に必要な最高のは、です。（つまり、使用しないので、が何をする可能性があるかをする必要はありません。） $N_{k+2}$ $k=1,2,...,K-2$ $K$ $N_{K}=d_{K-2}-d_{K-1}$ $k$ $d_k$ $k=K-1$ $d_K$

— Glen_b -Reinstate Monica
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ノット例では、「これにより4つの自由度（両方の境界領域にそれぞれ2つの制約）が解放されます」というアサーションの詳細を説明します。関連する間隔は、および（したがって、間隔とノットがあります）。 $2$ $\xi_1, \xi_2$ $]-\infty, \xi_1[$ $]\xi_1, \xi_2[$ $]\xi_2, +\infty[$ $|I|=3$ $|I|-1=2$

（一般的な）3次スプラインの場合

規則性の制約がない場合、方程式があります。 $4|I|=12$

1 （ バツ < ξ_{1} ）; 1 （ バツ < ξ_{1} ） バツ; 1 （ バツ < ξ_{1} ） {バツ}^{2}; 1 （ バツ < ξ_{1} ） {バツ}^{3};

$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^2~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^3~~;$

1 （ ξ_{1} \leq バツ < ξ_{2} ）; 1 （ ξ_{1} \leq バツ < ξ_{2} ） バツ; 1 （ ξ_{1} \leq バツ < ξ_{2} ） {バツ}^{2}; 1 （ ξ_{1} \leq バツ < ξ_{2} ） {バツ}^{3};

$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$

1 （ ξ_{2} \leq バツ ）; 1 （ ξ_{2} \leq バツ ） バツ; 1 （ ξ_{2} \leq バツ ） {バツ}^{2}; 1 （ ξ_{2} \leq バツ ） {バツ}^{3} 。

$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^3.$

制約を追加することにより（キュービックスプラインは規則性を仮定します）、を追加する必要があります線形係数の制約。 $\mathcal{C}^r$ $r=2$ $(r+1)\times(|I|-1) = 3\times(|I|-1) = 6$

最終的にの自由度になります。 $12-6=6$

自然な3次スプラインの場合

「自然な3次スプラインは、追加の制約を追加します。つまり、その関数は境界ノットを超えて線形になります。」

規則性の制約がない場合、方程式があります（つの多項式と3次多項式が関係するため、両方の境界領域で方程式を削除しました）。 $4|I|-4=12-4$ $4$ $2$

1 （ バツ < ξ_{1} ）; 1 （ バツ < ξ_{1} ） バツ;

$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~$

1 （ ξ_{1} \leq バツ < ξ_{2} ）; 1 （ ξ_{1} \leq バツ < ξ_{2} ） バツ; 1 （ ξ_{1} \leq バツ < ξ_{2} ） {バツ}^{2}; 1 （ ξ_{1} \leq バツ < ξ_{2} ） {バツ}^{3};

$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$

1 （ ξ_{2} \leq バツ ）; 1 （ ξ_{2} \leq バツ ） バツ 。

$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X.$

制約は以前と同じなので、線形係数に制約を追加する必要があります。 $3\times(|I|-1) = 6$

最終的にはの自由度になります。 $8-6=2$

— アースタット
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