線形混合効果モデリングの特殊なケースとしてのペアt検定

対応のあるt検定は、一方向反復測定（または被験者内）ANOVAおよび線形混合効果モデルの特殊なケースであり、lme（）関数でRのnlmeパッケージで実証できることがわかっています。以下に示すように。

#response data from 10 subjects under two conditions
x1<-rnorm(10)
x2<-1+rnorm(10)

# Now create a dataframe for lme
myDat <- data.frame(c(x1,x2), c(rep("x1", 10), rep("x2", 10)), rep(paste("S", seq(1,10), sep=""), 2))
names(myDat) <- c("y", "x", "subj")

次のペアのt検定を実行すると：

t.test(x1, x2, paired = TRUE)

私はこの結果を得ました（ランダムジェネレータのために異なる結果が得られます）：

t = -2.3056, df = 9, p-value = 0.04657

ANOVAアプローチを使用すると、同じ結果を得ることができます。

summary(aov(y ~ x + Error(subj/x), myDat))

# the F-value below is just the square of the t-value from paired t-test:
          Df  F value Pr(>F)
x          1  5.3158  0.04657

これで、次のモデルを使用してlmeで同じ結果を得ることができます。2つの条件の正定対称相関行列を想定しています。

summary(fm1 <- lme(y ~ x, random=list(subj=pdSymm(form=~x-1)), data=myDat))

# the 2nd row in the following agrees with the paired t-test
# (Intercept) -0.2488202 0.3142115  9 -0.7918878  0.4488
# xx2          1.3325786 0.5779727  9  2.3056084  0.0466

または、2つの条件の相関行列の複合対称性を想定した別のモデル：

summary(fm2 <- lme(y ~ x, random=list(subj=pdCompSymm(form=~x-1)), data=myDat))

# the 2nd row in the following agrees with the paired t-test
# (Intercept) -0.2488202 0.4023431  9 -0.618428  0.5516
# xx2          1.3325786 0.5779727  9  2.305608  0.0466

対になったt検定と一元配置反復測定ANOVAを使用して、従来のセル平均モデルを次のように書き留めることができます。

Yij = μ + αi + βj + εij, i = 1, 2; j = 1, ..., 10

I索引条件、Jインデックス対象、Yここで_ijは、応答変数であり、μは全体平均のために固定された効果のために一定であり、α _iは条件の固定効果であり、β _jは N（0、σ以下の被験者についてのランダム効果であります_P ²）（σ _P ²）母集団の分散であり、ε _ijは、残留あるσN（0、次の² σ（）²）被験者内分散です。

上記のセル平均モデルはlmeモデルには適切ではないと考えましたが、問題は、相関構造の仮定を使用した2つのlme（）アプローチの合理的なモデルを思い付かないことです。その理由は、lmeモデルには、上記のセル平均モデルが提供するよりも多くのランダム成分のパラメーターがあるようだからです。少なくともlmeモデルは、glsでは不可能なまったく同じF値、自由度、p値を提供します。より具体的には、glsは、各被験者が2つの観測値を持っているという事実を考慮していないため、不正確なDFを与え、非常に膨張したDFをもたらします。lmeモデルは、ランダム効果を指定する際に過剰パラメーター化される可能性が最も高いですが、モデルが何でパラメーターが何であるかはわかりません。そのため、この問題はまだ解決されていません。

モデルの等価性は、次のように、同じ個人からの2つの観測値間の相関を計算することで観測できます。

あなたの表記法のように、とします。ここで、 および。次に、 、他のすべての項は独立または固定であり、であるため、相関は です。$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}$$\beta_j \sim N(0, \sigma_p^2)$$\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$$Cov(y_{ik}, y_{jk}) = Cov(\mu + \alpha_i + \beta_k + \epsilon_{ik}, \mu + \alpha_j + \beta_k + \epsilon_{jk}) = Cov(\beta_k, \beta_k) = \sigma_p^2$$Var(y_{ik}) = Var(y_{jk}) = \sigma_p^2 + \sigma^2$$\sigma_p^2/(\sigma_p^2 + \sigma^2)$

ただし、ランダム効果モデルにより相関が正になるため、モデルは完全に同等ではないことに注意してください。CSモデルとt-test / anovaモデルはサポートしていません。

編集：他にも2つの違いがあります。まず、CSモデルと変量効果モデルは変量効果の正規性を仮定していますが、t検定/アノーバモデルはそうではありません。次に、CSモデルと変量効果モデルは最尤法を使用して適合し、anovaは平均二乗法を使用して適合します。すべてのバランスが取れていれば同意しますが、必ずしもより複雑な状況ではありません。最後に、モデルがどれだけ一致するかの尺度として、さまざまな近似のF / df / p値を使用することに注意してください。詳細については、Doug Batesの有名なdfのスクリードを参照してください。（編集終了）

Rコードの問題は、相関構造を適切に指定していないことです。あなたは使用する必要があるglsとのcorCompSymm相関構造。

主題効果があるようにデータを生成します。

set.seed(5)
x <- rnorm(10)
x1<-x+rnorm(10)
x2<-x+1 + rnorm(10)
myDat <- data.frame(c(x1,x2), c(rep("x1", 10), rep("x2", 10)), 
                    rep(paste("S", seq(1,10), sep=""), 2))
names(myDat) <- c("y", "x", "subj")

次に、ランダム効果と複合対称モデルの適合方法を示します。

library(nlme)
fm1 <- lme(y ~ x, random=~1|subj, data=myDat)
fm2 <- gls(y ~ x, correlation=corCompSymm(form=~1|subj), data=myDat)

ランダム効果モデルの標準誤差は次のとおりです。

m1.varp <- 0.5453527^2
m1.vare <- 1.084408^2

そして、CSモデルからの相関と残差は次のとおりです。

m2.rho <- 0.2018595
m2.var <- 1.213816^2

そして、それらは期待されるものと同等です：

> m1.varp/(m1.varp+m1.vare)
[1] 0.2018594
> sqrt(m1.varp + m1.vare)
[1] 1.213816

通常、他の相関構造はランダム効果に適合しませんが、単に目的の構造を指定するだけです。一般的な例外の1つは、AR（1）+ランダム効果モデルです。これは、ランダム効果と、同じランダム効果の観測値間のAR（1）相関があります。

EDIT2：3つのオプションを合わせると、glsが対象の用語のdfを推測しようとしないことを除いて、まったく同じ結果が得られます。

> summary(fm1)
...
Fixed effects: y ~ x 
                 Value Std.Error DF   t-value p-value
(Intercept) -0.5611156 0.3838423  9 -1.461839  0.1778
xx2          2.0772757 0.4849618  9  4.283380  0.0020

> summary(fm2)
...
                 Value Std.Error   t-value p-value
(Intercept) -0.5611156 0.3838423 -1.461839  0.1610
xx2          2.0772757 0.4849618  4.283380  0.0004

> m1 <- lm(y~ x + subj, data=myDat)
> summary(m1)
...
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  -0.3154     0.8042  -0.392  0.70403   
xx2           2.0773     0.4850   4.283  0.00204 **

（インターセプトはここで異なります。デフォルトのコーディングでは、すべてのサブジェクトの平均ではなく、最初のサブジェクトの平均であるためです。）

新しいlme4パッケージでも同じ結果が得られますが、p値を計算しようとしないことにも注意してください。

> mm1 <- lmer(y ~ x + (1|subj), data=myDat)
> summary(mm1)
...
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  -0.5611     0.3838  -1.462
xx2           2.0773     0.4850   4.283

mixedパッケージ内の関数を使用afexしてKenward-Roger df近似でp値を返すことを検討することもできます。これは、ペアのt検定として同一のp値を返します。

library(afex)
mixed(y ~ x + (1|subj), type=3,method="KR",data=myDat) 

または

library(lmerTest)
options(contrasts=c('contr.sum', 'contr.poly'))
anova(lmer(y ~ x + (1|subj),data=myDat),ddf="Kenward-Roger")