単位球内の2つの均一ランダムベクトルのクロネッカー積の分布？

2つのランダムなベクトルとが単位球均一に分布していると仮定します。とクロネッカー積が単位球サブセットに均一に分布していることを示すことは可能ですか？$x$$y$$S_{n-1}$$x$$y$$S_{n-1}\otimes S_{n-1}$

はい。これは、定義を検討することで明らかになります。

クロネッカー製品

単位球は、ユークリッド空間の単位ベクトルのセットです whereはユークリッドノルムです。$S^{n-1}$$E^n = \left(\mathbb{R}^n, ||\cdot ||\right)$

$$||(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\prime|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$$

「クロネッカー積」は通常のテンソル積です。それについて考え、それで計算するにはいくつかの方法があります。1つは、それを行列として定義することです。$n\times n$

$$x \otimes y = x\, y^\prime = \pmatrix{x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_n \\ x_2y_1 & x_2y_2 & \cdots & x_2y_n \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots & x_ny_n} \in \operatorname{Mat}\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n\right).$$

別の同等の方法は、この行列の成分を成分のベクトルに解き、を要素として表示できるようにします。のユークリッド計量が書けることに注意してください$n^2$$x\otimes y$$\mathbb{R}^{n^2}$$\mathbb{R}^{n^2}$

$$||Z||^2 = \operatorname{Tr}( Z Z^\prime ).\tag{1}$$

どちらも、すべてのコンポーネントの平方和を書き込む方法です。$n^2$

クロネッカー積は、およびのユークリッドメトリックスと互換性があるという意味で互換性があります。$E^n$$E^{n^2}$

$$||x \otimes y||^2 = ||x||^2\,||y||^2.$$

左側はすべての二乗の合計として定義され、右側はそれらの二乗の合計の積であるため、これは簡単に示されます。その製品を拡張するだけです：$x_i y_j$

$$||x \otimes y||^2 = \sum_i\sum_j (x_iy_j)^2 = \left(\sum_i x_i^2\right)\left(\sum_j y_j^2\right) = ||x||^2\,||y||^2.$$

特に、と両方に単位長がある場合、は単位長があります。したがって$x$$y$$x \otimes y$

$$S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}.$$

均一分布

ユークリッド球は、ユークリッド空間の通常の測度（最終的にはユークリッド距離によって決まるルベーグ測度）から測度を継承します。（定義により）アイソメトリは距離を保持し、メジャーは最終的には距離によって決定されるため、そのメジャーは球のアイソメトリによって保持されます。の単位球の等高線のグループは、直交グループで表されます。 それは線形変換で構成され、すべてで表されることを示すために、古典的な結果であり、単純行列れる。$\mathbb{R}^m$$O(m)$$m\times m$$P$$PP^\prime = P^\prime P = \mathbb{I}_m$

直交グループは推移的に作用します。（これはユークリッドが作成した証拠です：球上の2つの異なる点とします。それらの間に線分描きます。それはの中点を通る垂直な一意の超平面を決定します。その超平面マップでの反射がであり、そこからそれ自体とジャム全ての距離に、。すなわち反射スワップと示す送信直交変換が存在するを）。$O(n)$$S^{n-1}$$x$$y$$xy$$xy$$xy$$S^{n-1}$$O(n)$$x$$y$$x$$y$

「ベクトルがに均一に分布している」とは、分布がようなアイソメトリの推移的なグループの下で不変であることを意味します。$S^{n-1}$$O(n)$

パンチラインは次のとおりです。 "hypertorus"は、商に同型の同型の推移的なグループを楽しんでいます。実際、任意の所与と他、ピックれると。LETいずれかで行列と定義します$S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}$$O(n)\times O(n)$$x\otimes y\in S^{n-1}$$x_2\otimes y_2\in S^{n-1}$$P,Q\in O(n)$$Px=x_2$$Qy=y_2$$Z=(z_{ij})$$n\times n$

$$(P\otimes Q)(Z) = PZQ^\prime.\tag{2}$$

これはアイソメトリです。なぜなら、式を使用すると、$(1)$

$$\eqalign{ ||(P \otimes Q) (Z)||^2 &= \operatorname{Tr}\left((PZQ^\prime)(PZQ^\prime)^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PZ Z^\prime P^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PP^\prime Z Z^\prime \right) = \operatorname{Tr}\left(ZZ^\prime \right) \\ &= ||Z||^2.}$$

これらのステップでは、と直交性と、正方行列およびれました。$P$$Q$$\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$$A$$B$

等長のための等長の推移群誘導介して、（グループ不変である）、一様分布onは、QEDの一様分布にマッピングされます。$S^{n-1}$$S^{n-1}\otimes S^{n-1}$$(2)$$S^{n-1}$$S^{n-1}\otimes S^{n-1}$

とが独立している限り、あなたの言うことは真実です。$x$$y$

空間内の点ではなく、角度について考えるのが最も簡単です。

たとえば、の2次元球では、から独立しておよびサンプリングし、それらを天頂およびそれぞれ方位角。$\mathbb R^3$$\theta_1$$\theta_2$$U[0,2\pi]$

したがって、はとことができ、は。その場合、それらのKPはあり、一様分布も同様です。$x$$(\theta_1,...,\theta_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$$y$$(\phi_1,...,\phi_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$$(\theta_1,...,\theta_{n-1},\phi_1,...,\phi_{n-1})$$U[0,2\pi]^{2n-2}$