単位球内の2つの均一ランダムベクトルのクロネッカー積の分布?


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2つのランダムなベクトルとが単位球均一に分布していると仮定します。とクロネッカー積が単位球サブセットに均一に分布していることを示すことは可能ですか?xySn1xySn1Sn1

回答:


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はい。これは、定義を検討することで明らかになります。

クロネッカー製品

単位球は、ユークリッド空間の単位ベクトルのセットです whereはユークリッドノルムです。Sn1En=(Rn,||||)

||(x1,x2,,xn)||=x12+x22++xn2

「クロネッカー積」は通常のテンソル積です。それについて考え、それで計算するにはいくつかの方法があります。1つは、それを行列として定義することです。n×n

xy=xy=(x1y1x1y2x1ynx2y1x2y2x2ynxny1xny2xnyn)Mat(Rn,Rn).

別の同等の方法は、この行列の成分を成分のベクトルに解き、を要素として表示できるようにします。のユークリッド計量が書けることに注意してくださいn2xyRn2Rn2

(1)||Z||2=Tr(ZZ).

どちらも、すべてのコンポーネントの平方和を書き込む方法です。n2

クロネッカー積は、およびのユークリッドメトリックスと互換性があるという意味で互換性があります。EnEn2

||xy||2=||x||2||y||2.

左側はすべての二乗の合計として定義され、右側はそれらの二乗の合計の積であるため、これは簡単に示されます。その製品を拡張するだけです:xiyj

||xy||2=ij(xiyj)2=(ixi2)(jyj2)=||x||2||y||2.

特に、と両方に単位長がある場合、は単位長があります。したがってxyxy

Sn1Sn1Sn21.

均一分布

ユークリッド球は、ユークリッド空間の通常の測度(最終的にはユークリッド距離によって決まるルベーグ測度)から測度を継承します。(定義により)アイソメトリは距離を保持し、メジャーは最終的には距離によって決定されるため、そのメジャーは球のアイソメトリによって保持されます。の単位球の等高線のグループは、直交グループで表されます。 それは線形変換で構成され、すべてで表されることを示すために、古典的な結果であり、単純行列れる。RmO(m)m×mPPP=PP=Im

直交グループは推移的に作用します。(これはユークリッドが作成した証拠です:球上の2つの異なる点とします。それらの間に線分描きます。それはの中点を通る垂直な一意の超平面を決定します。その超平面マップでの反射がであり、そこからそれ自体とジャム全ての距離に、。すなわち反射スワップと示す送信直交変換が存在するを)。O(n)Sn1xyxyxyxySn1O(n)xyxy

「ベクトルがに均一に分布している」とは、分布がようなアイソメトリの推移的なグループの下で不変であることを意味します。Sn1O(n)

パンチラインは次のとおりです。 "hypertorus"は、商に同型の同型の推移的なグループを楽しんでいます。実際、任意の所与と他、ピックれると。LETいずれかで行列と定義しますSn1Sn1Sn21O(n)×O(n)xySn1x2y2Sn1P,QO(n)Px=x2Qy=y2Z=(zij)n×n

(2)(PQ)(Z)=PZQ.

これはアイソメトリです。なぜなら、式を使用すると、(1)

||(PQ)(Z)||2=Tr((PZQ)(PZQ))=Tr(PZZP)=Tr(PPZZ)=Tr(ZZ)=||Z||2.

これらのステップでは、と直交性と、正方行列およびれました。PQTr(AB)=Tr(BA)AB

等長のための等長の推移群誘導介して、(グループ不変である)、一様分布onは、QEDの一様分布にマッピングされます。Sn1Sn1Sn1(2)Sn1Sn1Sn1


@ whuber証明では、次のようないくつかの混乱があります。1.式(2)の右手は行列の行列です。式(2)の左手はどのように理解できますか?nn
Mao-lin Che 2016

2.なぜとを選択する必要があるのですか?残りのプロセスでは、これら2つのベクトルを使用しないためです。x1y1x2y2
Mao-lin Che 2016

@ Mao-linChe式その左側を定義します。「」が何を指しているのかはわかりません。私の回答には含まれていません。(2) x1y1
whuber

@whuberすみません。、とを定義する必要があるのです。行列はこれらのベクトルに依存しますか?xyx1y1Z
Mao-lin Che

@ Mao-linCheこれらの4つのベクトルは、それらが導入された直後に説明されるように、直交行列および部分的に決定します。 はそれらに依存しません。それは、「任意の」が「を任意の行列にする...」というフレーズで意味します。PQZZ n×n
whuber

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とが独立している限り、あなたの言うことは真実です。xy

空間内の点ではなく、角度について考えるのが最も簡単です。

たとえば、の2次元球では、から独立しておよびサンプリングし、それらを天頂およびそれぞれ方位角。R3θ1θ2U[0,2π]

したがって、はとことができ、は。その場合、それらのKPはあり、一様分布も同様です。x(θ1,...,θn1)U[0,2π]n1y(ϕ1,...,ϕn1)U[0,2π]n1(θ1,...,θn1,ϕ1,...,ϕn1)U[0,2π]2n2


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この議論は根本的に欠陥があります。天頂はから間でのみ実行され、球上の均一な分布は天頂の不均一な分布を引き起こします。(では、その正弦は一様分布です。)詳細はstats.stackexchange.com/questions/7977を参照してください。π/2π/2R3
whuber

球の表面を扱っているのか、それとも体積全体を扱っているのか?前者を想定していた。
JDL、

そのとおりですは、の単位ベクトルのセットで暗黙的に識別されます。Sn1Rn
whuber

@whuber; あなたが正しい!ドー。私はまだ問題は多かれ少なかれ些細なことに真実だと思います。2つの独立した均一分布のクロネッカー積は、製品セットでのみ均一にすることができます。
JDL、2016

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@JDLやってみhist(runif(5000) %x% runif(5000))ました..?
Tim
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