Metropolis＆Rejection＆Inverse Transformサンプリング手法の使用

逆変換法は、分布関数の形状に依存する分析法であるため、分布からサンプリングするのに必ずしも適切なオプションではないことを知っています。たとえば、逆1次元ガウス分布は計算できませんが、サンプリングによって良好な結果が得られます。私にとっては、この方法で十分です。しかし、MCMCメソッド（Metropolis-HastingsまたはRejection）は、逆変換よりもパフォーマンスが良いのでしょうか。MCMCメソッドは、よりまれなイベントをカバーするため、ITより優れていますか？または、他に利点はありますか？いくつかの例が役立ちます！ありがとう！

逆法は計算することが不可能であると言うことは完全に正しくありません。逆ガウスCDFには完全に優れた数値近似があります。私の知る限り、多くのメソッドがガウス確率変数を生成するためにそれを使用しています。もちろん、ガウシアンを生成する他の、おそらくもっと簡単な方法はたくさんあります。

拒絶サンプリングに関しては、これは混合バッグです。もし$f(x)$ ガウスpdfであり、リジェクションサンプリングでは、PDFを見つける必要があります。 $g(x)$その支配 $f(x)$： $f(x)\leq Mg(x)$、 いくつかのための $M>0$。一つの解釈$M$ これは、サンプルを受け入れる前に行う必要のある拒否の予想数です。 $M$良いです。この問題により、拒否のサンプリングが非常に困難になる場合があります。$M$は巨大。ここでのルールは、あなたが見つけることができない場合、$g$ それは $M$ 扱いやすい場合は、他の方法、たとえば、逆変換方法を調べる必要があります。

たとえば、指数分布は正規分布で機能します（実際には片側正規で、その後コインを裏返して符号を決定できます）。この場合、あなたはワークアウトすることができます$M=\sqrt{2\pi/e}=1.32$、指数関数は逆累積分布関数法を使用して非常に簡単に生成でき、平均でおよそ2つのサンプルを破棄するだけでよいので、これは素晴らしいことです。MCMCと組み合わせた拒否サンプリングの優れた点は、巧妙な方法で使用すると、イベントが発生するまで実際にユニバースの寿命を待たなくても、まれなイベントをシミュレートできることです。

シミュレーション手法間の比較は、すべてが同じターゲット分布からのものであると想定される出力を生成するため、効率についてのみです。したがって、これらのまれなイベントは正しい（まれな）レートで発生するはずなので、1つのシミュレーションメソッド（MCMCなど）が別のシミュレーションメソッドよりも多くのまれなイベントを生成することは期待できません。

逆cdf変換アプローチ、つまり返す $F^{-}(U)$ いつ $U$ です $\mathscr{U}(0,1)$、配布元 $F$。数学的に正しいです。計算すると非効率になる可能性があります$F^{-1}$要求が厳しすぎる。選択したソフトウェアにこの逆のコードが含まれている場合は、逆の精度が心配でない限り、さらに探す必要はありません（ただし、数値の精度が高い別の方法を見つける必要があります！）。逆累積分布関数がコーディングされておらず、大量のコーディング投資が必要な場合、マルコフ連鎖モンテカルロ法のような一般的な方法を探すほうが効率的です。これらは漸近法であり、シミュレーションの分布は、マルコフステップの数が無限に大きくなったときにのみターゲット分布に収束します（有限数のステップの後に収束を検証できる特別な場合を除く）。しかし、これらも一般的です より少ないコーディングと計画を必要とする方法、したがって、コーダー自身の時間と比較した場合、コンピューター時間はかなり安いという意味でより効率的な方法。