確率の頻繁な定義; 正式な定義はありますか？

頻度論者が「確率」の下で理解することの正式な（数学的な）定義はありますか？私はそれが「長期的に」の相対的な発生頻度であると読みましたが、それを定義するための正式な方法はありますか？その定義を見つけることができる既知の参考文献はありますか？

編集：

頻出者（@whuberによるコメントと、その回答の下の@Kodiologistと@Graeme Walshへの私のコメントを参照）とは、この長期的な相対頻度が存在すると「信じる」という意味です。多分これは（部分的に）@Timの質問にも答えます

probability frequentist definition

「Frequentist」の意味を教えてください。私が他のスレッドで見た使用法は、多くの人々がこの用語が何を意味するのかについて一貫したまたは明確な感覚を持っていないことを示しています。したがって、定義は適切な回答を維持するのに役立ちます。

— whuber

@whuber頻度の定義は「非頻度」であり、ベイズの定義はほとんどの場合「頻度なし」だと思います:)

— Tim

密接に関連：en.wikipedia.org/wiki/Empirical_probability

— Silverfish

このstats.stackexchange.com/a/230943/113090はおそらくあなたにとって興味があるだろうと言っていましたが、その答えを投稿したのはあなたであることがわかったので、気にしないでください。とにかく、あなたの思考プロセスは、あなた（例えば私）は、「確率の正式なfrequentistな定義が存在しない」とも同じ質問を持って他の人に関心のあるかもしれない

— Chill2Macht

自分で答えを書く力があるかどうかはわかりませんが、関連するスレッドであなたの答えの下に投稿した確率の解釈に関するスタンフォード哲学百科事典のエントリへの同じリンクをここに残したいと思います。頻出主義の解釈/定義に関するセクションは良い読み物です。それは、確率論の頻繁な定義を与えることを試みて、さまざまな概念的な問題について広範囲に話します。

— amoeba

回答:

TL; DR完全に循環的ではない（すなわち循環論理の意味で）コルモゴロフフレームワークと一致する確率の頻度定義を定義することは可能ではないようです。

長すぎないので、私は読みました：私は確率の候補frequentistの定義といくつかの潜在的な問題として見るもののアドレスにしたい最初に、は確率変数としてしか合理的に解釈できないため、上記の式は厳密な意味で正確に定義されていません。この確率変数の収束のモードを、確率で、分布で、平均で、または平均二乗で指定する必要があります。

lim_{n \to \infty} \frac{n_{A}}{n}

$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$

n_{A}

$n_A$

しかし、これらの収束の概念のすべては、意味があるように定義される確率空間の測定を必要とします。もちろん、直感的な選択は、ほぼ確実に収束を選択することです。これには、メジャー0のイベントを除いて、ポイントごとに制限が存在する必要があるという特徴があります。メジャーゼロのセットを構成するものは、互いに完全に連続するメジャーのファミリーと一致します。これにより、ほぼ確実に収束するという概念を定義し、上記の制限を厳密にしながら、基礎となるものについて多少不明確なままにすることができます。イベントの測定可能な空間の測度は（つまり、選択された測度に関して絶対的に連続する任意の測度になる可能性があるため）。これにより、所定のメジャーを事前に固定することから生じる定義の循環が防止されます。

ただし、ほぼ確実な収束を使用している場合、それは、多数の強力な法則（以降、SLLN）の状況に限定されることを意味します。ここで参考のために、その定理（Chungのp。133に記載）について述べておきます。

$\{X_n\}$
$E | X_{1} | < \infty ⟹ \frac{S_{n}}{n} \to E (X_{1}) a . s .$ $\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$ $E | X_{1} | = \infty ⟹ \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{| S_{n} |}{n} = + \infty a . s .$ $\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

$(X, \mathscr{F})$ $A \in \mathscr{F}$ $\{\mu_i\}_{i \in I}$ $\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$ $\mu_i$ $1$ $\mathbb{1}_{A_j}$ $1$ $A$ $j$ $0$

n_{A} = 1_{A_{1}} + 1_{A_{2}} + \dots + 1_{A_{n}} .

$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$

0 \leq E_{i} 1_{A_{j}} \leq 1

$0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$

E_{i}

$\mathbb{E}_i$

μ_{i}

$\mu_i$

(\prod_{j = 1}^{\infty} X_{j})_{i}

$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$

1_{A_{j}}

$\mathbb{1}_{A_j}$

\frac{n_{A}}{n} \to E_{i} 1_{A_{1}} a . s .

$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$

A

$A$

μ_{i}

$\mu_i$

E_{1} 1_{A}

$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

$\frac{n_A}{n}$ $\mu_{i_1}$ $\mu_{i_2}$ $i_1, i_2 \in I$ $\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

$\mu$ $\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$ $A$ $X$ $A$ $\mu$

つまり、イベントの頻度をイベントの確率として定義することは理にかなっているように見えますが、イベントの確率を頻度として定義することは意味がないようです（少なくとも循環的ではありません）。これは特に問題です。実際の生活では、確率が実際にはわからないためです。見積もる必要があります。

$\mathbb{R}$ $\mu(\mathbb{R})=\infty$ $\prod_{j=1}^n X$ $(\mu(X))^n$ $\mu(X) >1$ $\mu(X) <1$

— Chill2Macht
ソース

良い答えをありがとう（+1）。長期的な相対頻度の定義に「問題」があることに同意します。これは、おそらくコルモゴロフが彼のグルンドベグリフを開発した理由の1つでした。しかし、頻出者について話すとき、私はコルモゴロフの理論の前の時間枠に身を置かなければなりません。

@fcop正直言って私には分からない。私が言おうとしているのは、確率論を頻繁に理解するための厳密な正当化が、どのようにして有用/非循環的な定義につながるのか、私にはわからないということです。

— Chill2Macht 2016

@fcop私は寛大な賞金を本当に感謝しています-私はそれを受け取る前に今日は本当にかなり機嫌が悪かったです。正直なところ、私は（良い意味で）幾分床を張っています。繰り返しますが、本当に感謝しています

— Chill2Macht

言うまでもなく、あなたの答えは非常によく発達していて、数学的に正しいです。

$(Ω, Σ, μ)$ $μ(Ω) = 1$ $S ∈ Σ$ $μ(S)$

— コディオロジスト
ソース

μ

$\mu$

P

$\mathbb{P}$

μ

$\mu$

lim_{n \to \infty} (n_{A} / n) = P_{A} = P (A) .

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(n_{A}/ n\right) = P_A = P(A).$

— Graeme Walsh

P (A)

$P(A)$

@fcopウォルシュが指摘しているように、この「定義」は厳密ではありません。

— コディオロジスト2016