4以外の数字に着くまでサイコロを振ります。結果が4を超える確率はどれくらいですか。

プレイヤーには、公平な6面ダイスが与えられます。勝つために、彼女は4より大きい数（5または6）を振らなければなりません。彼女が4を振った場合、彼女は再び転がらなければなりません。彼女の勝率は？

を獲得する確率は、次のように再帰的に表現できると思います。$P(W)$

$$P(W) = P(r = 5 \cup r = 6) + P(r = 4) \cdot P(W)$$

次のように、Javaで100万回の試行を実行することにより、を近似しました。$P(W)$$0.3999$

import java.util.Random;
public class Dice {

    public static void main(String[] args) {
        int runs = 1000000000;
        int wins = 0;
        for (int i = 0; i < runs; i++) {
            wins += playGame();
        }
        System.out.println(wins / (double)runs);
    }

    static Random r = new Random();

    private static int playGame() {
        int roll;
        while ((roll = r.nextInt(6) + 1) == 4);
        return (roll == 5 || roll == 6) ? 1 : 0;
    }
}

そして、私はこのように展開できることがわかります：$P(W)$

$$P(W) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\right)...$$

しかし、この種の近似に頼らずにこのタイプの再帰関係を解決する方法はわかりません。出来ますか？

代数を使ってそれを解くだけです：

$$\begin{aligned} P(W) &= \tfrac 2 6 + \tfrac 1 6 \cdot P(W) \\[7pt] \tfrac 5 6 \cdot P(W) &= \tfrac 2 6 \\[7pt] P(W) &= \tfrac 2 5. \end{aligned}$$

注：これは、再発ではなく、最初の質問に対する回答です。

彼女が4をロールした場合、次のロールは独立しているため、本質的にカウントされません。つまり、4を出した後の状況は、彼女が始めたときと同じです。したがって、4を無視することができます。その場合、重要な結果は1-3と5-6です。5つの異なる結果があり、そのうち2つが勝ちです。したがって、答えは2/5 = 0.4 = 40％です。

dsaxton（/stats//a/232107/90759）およびGeoMatt22（/stats//a/232107/90759）による回答が、問題に対する最善のアプローチを示しています。もう一つは、あなたの表現を認識することです

$$P(W) = \frac13+\frac16\left(\frac13+\frac16(\cdots)\right)$$

本当に幾何学的な進行です：

$$\frac13+\frac16\frac13+\frac1{6^2}\frac13+\cdots$$

一般的には

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_0q^n = \frac{a_0}{1-q}$$

だからここにある

$$P(W) = \frac{\frac13}{1-\frac16} = \frac13:\frac56=\frac{6}{15}=\frac25.$$

もちろん、等比数列の合計の一般式を証明する方法は、dsaxtonと同様に代数解を使用することです。

上記の答えはすべて正しいですが、なぜ正しいのか、なぜ多くの詳細を無視して複雑な繰り返し関係を解決する必要がないのかを説明していません。

理由はなぜ他の答えが正しいです強力なマルコフ性離散マルコフ連鎖のための定期的なマルコフ性と等価です。https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_property#Strong_Markov_property

基本的には、ランダム変数は

$\tau:=($

ある停止時間。https://en.wikipedia.org/wiki/Stopping_time停止時間は、将来の情報に依存しないランダム変数です。

$n$$\tau=n$$\tau$

$\tau$$X_{\tau}$

$\tau -1$$\tau$$X_{\tau} > 4$

$$\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=1)=\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=2)=\dots = \mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=50,000,000)=\dots$$

$\tau=1$

$$\mathbb{P}(X_1>4|X\not=4) = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4 \cap X_1 \not=4)}{\mathbb{P}(X_1 \not= 4)} = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4)}{\mathbb{P}(X_1 \not=4)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}=\frac{2}{5}$$

停止時間とストロングマルコフプロパティの詳細については、（第4版）Durrettの確率理論と例のセクション8.3を参照してください。365。

問題を見る別の方法。

「実際の結果」を1,2,3,5または6と呼びましょう。

「本当の結果」を得た場合、最初のロールで勝つ可能性はどのくらいですか？2/5

2回目のロールが「実際の結果」を初めて得た場合、2回目のロールで勝つ可能性はどのくらいですか？2/5

3番目、4番目も同じです。

そのため、サンプルを（無限の）小さなサンプルに分割することができ、それらのサンプルはすべて同じ確率を与えます。