次数統計量が与えられた一様確率変数の条件付き分布

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次の質問があります。

$U,V$ $(0,1)$ $U$ $Z:=\max(U,V)$

私は、書き込みしようとした $Z=\Bbb{I}\cdot V+(1-\Bbb{I})\cdot U$ 場合 $\Bbb{I}=\begin{cases}1&U<V\\0&U>V\end{cases}$

しかし、どこにも行きません。

— クワーティ
ソース

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これは間違っているかもしれませんが、ここに行きます。場合

U

$U$ 最大、そしてある

U = Z

$U=Z$ 。それ以外の場合は

U < V = Z

$U<V=Z$ なので、

U

$U$ は

で均一になります

[0, Z]

$[0,Z]$ 。2つのケースは等しい確率を持つ必要があるので、

U

$U$ は2つの分布が混在していますか？

— GeoMatt22

math.stackexchange.com/questions/1905481/…にクロスポストしました。

— StubbornAtom

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写真が役立つかもしれません。 間隔独立した均一分布は、単位正方形均一分布と見なすことができます。イベントは正方形の領域であり、その確率はエリアです。 $[0,1]$ $I^2 = [0,1]\times [0,1]$

してみましょう、任意の可能な値も。座標の組ここで側の正方形の上部及び右端形成。してみましょう小さな正の数です。最大値がと間にある座標のセットは、図で陰影が付けられているように、その正方形を細く太らせます。その面積は、2つの正方形の面積の差であり、一方の側がでもう一方の側がです。 $z$ $\max(U,V)$ $(U,V)$ $\max(U,V)=z$ $z$ $dz$ $(U,V)$ $z$ $z+dz$ $z+dz$ $z$

\begin{matrix} (1) & Pr (z \leq Z \leq z + d z) = (z + d z)^{2} - z^{2} = 2 z d z + (d z)^{2} . \end{matrix}

$\Pr(z \le Z \le z+dz) = (z+dz)^2 - z^2 = 2z\,dz + (dz)^2.\tag{1}$

してみましょうのいずれかの可能性のある値である：それは図中の縦点線ラインでマークされます。 $u$ $U$

左のパネルは、場合を示していますがその行の左側の領域になる可能性（と等しい）。しかし、ととがと間にあるイベントは、茶色の影付きの領域です。それは長方形なので、その面積は幅高さです。したがって、 $u \le z$ $U\le u$ $u$ $U\le u$ $Z$ $z$ $z+dz$ $u$ $dz$

\begin{matrix} (2) & Pr (U \leq u, z \leq Z \leq z + d z) = u d z . \end{matrix}

$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\,dz.\tag{2}$

右のパネルは、場合を示しています。これで、およびが2つの長方形で構成される可能性があります。一番上のものは底がで高さがです。右のものは底と高さ持っています。したがって $z \lt u \le z+dz$ $U \le u$ $z \lt Z \le z+dz$ $u$ $dz$ $(u-z)$ $z+dz$

\begin{matrix} (3) & Pr (U \leq u, z \leq Z \leq z + d z) = u d z + (u - z) (z + d z) . \end{matrix}

$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\, dz + (u-z)(z+dz).\tag{3}$

定義により、条件付き確率はこれらの確率を、上記ので与えられるである総確率で割ったものです。除算及びこの値によって。 まかせ微小であり、そして保持標準部品結果を、上の条件付き確率与える。したがって、場合、 $z \le Z \le z+dz$ $(1)$ $(2)$ $(3)$ $dz$ $Z=z$ $0 \le u \le z$

Pr (U \leq u | Z = z) = \frac{u d z}{2 z d z + (d z)^{2}} = \frac{u}{2 z + d z} \approx \frac{u}{2 z} .

$\Pr(U \le u\,|\, Z=z) = \frac{u\,dz}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{u}{2z + dz} \approx \frac{u}{2z}.$

場合、書き込み用と計算 $z \lt u \le z+dz$ $u = z + \lambda dz$ $0 \lt \lambda \le 1$

Pr (U \leq u | Z = z) = \frac{u d z + (u - z) (z + d z)}{2 z d z + (d z)^{2}} = \frac{(z + λ d z) d z + (λ d z) (z + d z)}{2 z d z + (d z)^{2}} \approx \frac{1 + λ}{2} .

$\Pr(U \le u|Z=z) = \frac{u\, dz + (u-z)(z+dz)}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{(z + \lambda dz)dz + (\lambda dz)(z+dz)}{2z\,dz+(dz)^2}\approx\frac{1+\lambda}{2}.$

最後に、場合、右側のパネルの茶色の領域が灰色の領域と等しくなり、比率はます。 $u \gt z+dz$ $1$

これらの結果は、条件付き確率がより直線的に増大することを示すにとしてから成長にから直線アップ撮影次いで、に間の微小間隔でおよび、その後、すべてのより大きいに対してままです。これがグラフです： $0$ $z/(2z)=1/2$ $u$ $0$ $z$ $1/2$ $1$ $z$ $z+dz$ $1$ $u$

は無限小なので、と視覚的に区別することはできなくなりました。プロットは、高さがからジャンプします。 $dz$ $z$ $z+dz$ $1/2$ $1$

である任意の適用される単一の数式に上記をまとめると、条件付き分布関数を次のように書くことができます。 $z$ $0 \lt z \le 1$

F_{U | Z = z} (u) = {\begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \frac{u}{2 z} & 0 < u \leq z \\ 1 & u > z . \end{cases}

$F_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{u}{2z} & 0 \lt u\le z \\ 1 & u \gt z. \end{array} \right.$

これは完全で厳密な答えです。 ジャンプは、確率密度関数が値での条件付き分布を適切に記述しないことを示しています。ただし、他のすべての点では、密度ます。それに等しいのための、のために（誘導体に対して）、およびのための。「一般化された関数」を使用して、これを密度のような形式で書くことができます。してみましょう大きさのジャンプを与える「一般化密度」も $U=z$ $f_{U|Z=z}(u)$ $0$ $u\le 0$ $1/(2z)$ $0 \le u \lt z$ $u/(2z)$ $u$ $0$ $u \gt z$ $\delta_z$ $1$ で：であり、それは位置単位確率の原子の「密度」だ。その後で一般密度書き込むことができるの確率という事実発現するようにに濃縮さ。完全に、私たちは書くことができました $z$ $z$ $z$ $\frac{1}{2}\delta_z$ $1/2$ $z$

f_{U | Z = z} (u) = {\begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \frac{1}{2 z} & 0 < u < z \\ \frac{1}{2} δ_{z} (u) & u = z \\ 0 & u > z . \end{cases}

$f_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{1}{2z} & 0 \lt u\lt z \\ \frac{1}{2}\delta_z(u) & u=z \\ 0 & u \gt z. \end{array} \right.$

— whuber
ソース

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最初に、条件とした最大分布を考えます。条件付き確率で場合、最大はに等しくなります。それ以外の場合、は等しいより大きい値を取ります。したがって、全体的な条件付き分布は、（サイズuの）点質量と均一密度積分間の混合になります。点質量をディラックデルタ関数で表すと、この条件付き分布の一般化確率密度関数（gpdf）は次のようになります。 $Z$ $U=u$ $Z$ $u$ $V<u$ $u$ $Z$ $u$ $V$ $u$ $(u,1)$ $1-u$

f_{Z | U = u} (z) = u δ (z - u) + {\begin{cases} 1 & for u < z < 1 \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f_{Z|U=u}(z) = u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases}$ の関節gpdfおよび、次いで最大のpdfはです。したがって、最大が指定されたの条件付きgpdfは、

Z

$Z$

U

$U$

\begin{aligned} f_{Z, U} (z, u) & = f_{Z | U = u} (z) f_{U} (u) \\ = u δ (z - u) + {\begin{cases} 1 & for 0 < u < z < 1 \\ 0 & otherwise . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{Z,U}(z,u) &= f_{Z|U=u}(z)f_U(u) \\ &= u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }0<u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases} \end{align}$

f_{Z} (z) = 2 z

$f_Z(z)=2z$

U

$U$

Z

$Z$

\begin{aligned} f_{U | Z = z} (u) & = \frac{f_{Z, U} (z, u)}{f_{Z} (z)} \\ = \frac{1}{2} δ (z - u) + {\begin{cases} \frac{1}{2 z} & for 0 < u < z \\ 0 & otherwise, \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U|Z=z}(u) &= \frac{f_{Z,U}(z,u)}{f_Z(z)} \\ &= \frac12\delta(z-u) + \begin{cases} \frac1{2z} & \text{for }0<u<z \\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases} \end{align}$

z

$z$ 確率は1/2、密度は均一になり、1/2に積分されます

(0, z)

$(0,z)$

— ジャール・タフト
ソース

さて、あなたの偉大な助けのために+1！しかし、私は問題があります。私はDIRAC DELTA関数を知りません。...では、それなしでそれを行うことができますか？

— Qwerty、2016

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知りません。これは、一部が離散的で一部が連続的な分布を表す便利な方法のようです。math.stackexchangeのスレッドには、さらに議論があります。

— Jarle Tufto