を見つけるためのより簡単な方法


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一様分布から引き出さ3つのIIDサンプル検討 θはパラメータです。E [ X 2 を見つけたい | X 1 X 3 ] ここで、X i は順序統計量iです。u(θ,2θ)θ

E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i

結果は しかし、この結果を示すことができる唯一の方法は長すぎるようです。簡単な解決策を思い付くことができません。何か不足していますか、ショートカットはありますか?

E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2

私がすることは次のとおりです:

  • 条件付き密度を見つける

    f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
  • 私は統合します

E[X(2)|X(1),X(3)]=xf(x|x(1),x(3))dx

詳細:

I{A}A

fx(1),,x(n)(x1,,xn)=n!i=1nfx(xi)I{x(1)x(2)x(n)}(x1,,xn)

私のケースのために取得する

fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1x2xn}(x1,,x3)

fx(1),x(3)(u,v)

fx(1),x(3)(u,v)=fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2

あれは

fx(1),x(3)(u,v)=3!1θ3I{x1=ux2x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[vu]

そのため

f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iux2v(u,x2,v)3!1θ3[vu]=[vu]1I{u<x2<v}

与える

E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[vu]1uvxdx=[vu]1[v2u2]2=u+v2

私はあなたがしたことを見ませんでした、しかしあなたは答えを得ましたuv2u+v2

xdx

回答:


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XiX(1)X(3) X(2)[X(1),X(3)](X(1)+X(3))/2QED。


XiFX(k)dF(xk)/(F(x(k+1))F(x(k1)))k=1F(x0)0k=nF(xn+1)1


dF(xk)

1
dF(x)=dFdx(x)dx.
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