ecdfが線形補間ではなくステップ関数を使用するのはなぜですか？

経験的CDF関数は通常、ステップ関数によって推定されます。これが線形補間を使用するのではなく、そのような方法で行われる理由はありますか？ステップ関数には、それを好む興味深い理論上の特性がありますか？

次に2つの例を示します。

ecdf2 <- function (x) {
  x <- sort(x)
  n <- length(x)
  if (n < 1) 
    stop("'x' must have 1 or more non-missing values")
  vals <- unique(x)
  rval <- approxfun(vals, cumsum(tabulate(match(x, vals)))/n, 
                    method = "linear", yleft = 0, yright = 1, f = 0, ties = "ordered")
  class(rval) <- c("ecdf", class(rval))
  assign("nobs", n, envir = environment(rval))
  attr(rval, "call") <- sys.call()
  rval
}


set.seed(2016-08-18)
a <- rnorm(10)
a2 <- ecdf(a)
a3 <- ecdf2(a)

par(mfrow = c(1,2))
curve(a2, -2,2, main = "step function ecdf")
curve(a3, -2,2, main = "linear interpolation function ecdf")

r distributions ecdf

— タル・ガリリ
ソース

関連 ...................................

「...ステップ関数によって推定される」は微妙な誤解に反します。ECDFは単にステップ関数によって推定されるのではありません。それはある定義によると、このような機能。これは、ランダム変数のCDFと同じです。具体的には、数字の任意の有限のシーケンス所与

、確率空間定義

と

、

ディスクリート、及び

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

(Ω, S, P)

$(\Omega,\mathfrak{S},\mathbb{P})$

Ω = {1, 2, \dots, n}

$\Omega=\{1,2,\ldots, n\}$

S

$\mathfrak{S}$

P

$\mathbb{P}$ ユニフォーム。ましょ

割り当てる確率変数

に

。ECDFはのCDFです。この巨大な概念の単純化は、定義の説得力のある議論です。

X

$X$

x_{i}

$x_i$

i

$i$ $X$

— whuber

定義によります。

観察のセットの経験分布関数によって定義されます。 $(X_n)$

F_{e} (t) = \frac{# {X_{n} ∣ X_{n} \leq t}}{n}

$F_e(t) = \frac{\#\{X_n \mid X_n \le t\}}n$

どこ $\#$

また、少なくとも2つの分布の場合 $P(X = x) \ne 0$ $x$

F_{X} (x) = p χ_{x \geq 0} + (1 - p) χ_{x \geq 1}

$F_X(x) = p \chi_{x \ge 0} + (1-p) \chi_{x \ge 1}$

χ_{x \geq 0} \cdot (p + (1 - p) min (x, 1))

$\chi_{x\ge 0} \cdot (p + (1-p)\min(x, 1))$

(0, p)

$(0,p)$

(1, 1)

$(1,1)$ 。

— AlexR
ソース

ありがとう、アレックス。私が書いた関数には別の名前がありますか？（実際のCDFにも収束すると推測されるため）

— タルガリリ

@TalGaliliありません。ベルヌーイ分布を考えます。この場合、ecdf2は収束しません。これを平滑化されたecdfと呼ぶことができます。実際のCDFには、極端なポイント（平滑化しない）以外の確率がゼロ以外のポイントがない場合、実際のCDFに収束すると思われます

— AlexR

@AlexRでは、離散分布がそのような明確な理由であるため、回答を編集してこのコメントを追加できます。したがって、「なぜ」の質問に答えます。

— ティム

@ティム完了。

${}{}$

— AlexR

ありがとう。ステップ関数に収束するが、完全に単調である連続的な経験関数を定義する方法はありますか（つまり、鋭い「ジャンプ」なし）。

— タルガリリ