スポーツでの勝ち負けの結果のモデリング

私はさまざまなチーム、プレーヤーなどに関するデータを持っています。ホームチームの勝利、ホームチームの敗北、または引き分けに終わる可能性がある試合の結果をモデル化する最良の方法を見つけようとしています。これをモデリングするのに問題があります。

たとえば、ポアソン回帰を使用して各チームが得点するゴールの数をモデル化し、それらの確率のグリッドを計算できますが、独立性の仮定にはあまり満足していません。また、2変量ポアソンを行うこともできましたが、これにはあまり経験がありません。結果が相互に排他的であるという事実を維持しながら、結果の2つのチームへの依存をモデル化するための適切なアプローチは何なのかと思います（ドローの損失に勝つために割り当てられた確率は合計で1になるはずです）。

確率質量関数で2変量ポアソン分布を使用できます

$$f(x,y) = \exp\{-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\} \frac{\lambda_1^x}{x!} \frac{\lambda_2^y}{y!} \sum^{\min(x,y)}_{k=0} {x \choose k} {y \choose k} k!\left(\frac{\lambda_3}{\lambda_1\lambda_2}\right)^k$$

ここで、およびおよび、を2つのマージナル間の依存関係の尺度として扱うことができますポアソン分布。Rを使用している場合、このディストリビューションのpmfおよびランダム生成はextraDistrパッケージに実装されます。$E(X) = \lambda_1+\lambda_3$$E(Y) = \lambda_2+\lambda_3$$\mathrm{cov}(X,Y) = \lambda_3$$\lambda_3$

実際、この分布はKarlisとNtzoufras（2003）によるスポーツデータの分析の観点から説明されているため、詳細については彼らの論文を確認できます。以前の論文でこれらの著者は一変量ポアソンモデルについても説明しました。両チームのスコアの差は二変量ポアソンの相関パラメーターに依存しないため、独立性の仮定は公平な近似を提供すると結論付けました（Karlis and Ntzoufras、2000）。

Kawamura（1984）は、最尤法を使用した直接探索による2変量ポアソン分布の推定パラメーターについて説明しました。回帰モデルについては、Karlis and Ntzoufras（2003）のような最尤推定、またはMCMCを使用して推定されたベイジアンモデルのように、EMアルゴリズムを使用できます。2変量ポアソン回帰のEMアルゴリズムはbivpoisパッケージ（Karlis and Ntzoufras、2005）に実装されていますが、現時点では残念ながらCRANには含まれていません。

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Karlis、D。、およびNtzoufras、I。（2003）。2変量ポアソンモデルを使用したスポーツデータの分析。 王立統計学会誌：シリーズD（統計学者）、52（3）、381-393。

Karlis、D.およびNtzoufras、I.（2000）サッカーデータのモデル化。 学生、3、229-244。

川村和夫（1984）。2変量ポアソン分布の最尤推定量の直接計算。Kodai数学ジャーナル、7（2）、211-221。

Karlis、D。、およびNtzoufras、I（2005）。R. Journal of Statistical Software、14（10）、1-36の2変量ポアソンおよび対角線膨張2変量ポアソン回帰モデル。

2変量ポアソンは、と間の負の相関を受け入れません。このモデルは、ガウスコピュラの各コンポーネントにポアソン分位数関数を適用することで作成できます。結果の2変量確率質量関数は、次のコードを使用してRで簡単に計算されます。ここで、ベクトルには2つの周辺ポアソン分布のパラメーターが含まれ、標準の双正規分布の相関です。$x_1$$x_2$lambdarho

library(mvtnorm)
dbipoisgausscopula <- function(x, lambda, rho) {
   pmvnorm(lower=qnorm(ppois(x-1,lambda)),
      upper=qnorm(ppois(x,lambda)),
      mean=c(0,0),
      sigma=matrix(c(1,rho,rho,1),2,2)
   )
}