AはBと正の関係があります。

CはAとBの結果ですが、Cに対するAの効果は負であり、Cに対するBの効果は正です。

これは起こりますか？

他の答えは本当に素晴らしいです-彼らは実生活の例を与えます。

これとは逆の直観にもかかわらず、なぜこれが起こるのかを説明したいと思います。

これを幾何学的に見てください！

相関は、ベクトル間の角度の余弦です。本質的に、あなたはそれが可能であるかどうかを尋ねています

• $A$はBと鋭角をなす（正の相関）$B$
• $B$は Cと鋭角をなす（正の相関）$C$
• $A$は Cと鈍角をなします（負の相関）$C$

はい、もちろん：

この例では（$\rho$は相関を示します）：

• $A=(0.6,0.8)$
• $B=(1,0)$
• $C=(0.6,-0.8)$
• $\rho(A,B)=0.6>0$
• $\rho(B,C)=0.6>0$
• $\rho(A,C)=-0.28<0$

あなたの直感は正しいです！

しかし、あなたの驚きは見当違いではありません。

ベクトル間の角度は単位球上の距離メトリックであるため、三角形の不等式を満たします。

$$\measuredangle AB \le \measuredangle AC + \measuredangle BC$$

従って、以降$\cos \measuredangle AB = \rho(A,B)$、

$$\arccos\rho(A,B) \le \arccos\rho(A,C) + \arccos\rho(B,C)$$

したがって（$\cos$は[ 0 、π ]で減少しているため）$[0,\pi]$

$$\rho(A,B)\ge\rho(A,C)\times\rho(B,C) - \sqrt{(1-\rho^2(A,C))\times(1-\rho^2(B,C))}$$

そう、

• もし$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.9$、次いで$\rho(A,B)\ge 0.62$
• もし$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.95$、次いで$\rho(A,B)\ge 0.805$
• もし$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.99$、次いで$\rho(A,B)\ge 0.9602$

はい、2つの共存する状態は逆の効果をもたらす可能性があります。

例えば：

• とんでもない発言をすること（A）は、楽しいこと（B）と積極的に関係しています。
• 非道な発言をすること（A）は、選挙に勝つことに悪影響を及ぼします（C）。
• 楽しいこと（B）は、選挙で勝つことにプラスの効果があります（C）。

質問によく当てはまるこの車のアナロジーを聞いたことがあります：

• 上り坂（A）の運転は、ドライバーがガスを踏むこと（B）と正の関係があります
• 上り坂（A）を運転すると、車速（C）に悪影響を及ぼします
• ガス（B）を踏むと、車速（C）にプラスの効果があります。

ここで重要なのは、一定の速度（C）を維持するというドライバーの意図です。したがって、AとBの間の正の相関は、当然その意図から得られます。この関係で、A、B、Cの無限の例を構築できます。

類推は、ミルトン・フリードマンのサーモスタットの解釈に由来し、金融政策と計量経済学の興味深い分析に由来しますが、それは質問とは無関係です。

はい、これはシミュレーションで実演するのは簡単です。

正の相関がある2つの変数AとBをシミュレートします。

> require(MASS)
> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(10,3,3,2),2,2)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0, 2), Sigma))
> names(dt) <- c("A","B")
> cor(dt)

          A         B
A 1.0000000 0.6707593
B 0.6707593 1.0000000

変数Cを作成します。

> dt$C <- dt$A - dt$B + rnorm(1000,0,5)

見よ：

> (lm(C~A+B,data=dt))

Coefficients:
(Intercept)            A            B  
    0.03248      0.98587     -1.05113  

編集：または（Kodiologistが提案したように）、、cor （A 、$\operatorname{cor}(A,B) > 0$$\operatorname{cor}(A,C) > 0$$\operatorname{cor}(B,C) < 0$

> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(1,0.5,0.5,0.5,1,-0.5,0.5,-0.5,1),3,3)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0,3), Sigma, empirical=TRUE))
> names(dt) <- c("A","B","C")
> cor(dt)
    A    B    C
A 1.0  0.5  0.5
B 0.5  1.0 -0.5
C 0.5 -0.5  1.0

$$C = mB + n (A-proj_B(A))$$

次いで

$$\left<C,A\right> = m\left<B,A\right> + n\left<A,A\right> -n \left<B,A\right>$$

次に、CとAの間の共分散は、2つの条件で負になる可能性があります。

1. $n>m,\ \left<A,A\right> < \left<B,A\right> (n-m)/n$
2. $n<-m,\ \left<A,A\right> > \left<B,A\right> (n-m)/n$