二次ランダム多項式の期待される根

仮定上に均一な分布を有するIIDランダム変数である。および与えられる複素確率変数である、多項式の予想される根に興味があります。 $A,B,C$ $[-1,1]$ $Ax^2 + Bx + C$

Z_{1} = \frac{- B + \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A}

$Z_1 = \frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$

Z_{2} = \frac{- B - \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A} .

$Z_2 = \frac{-B-\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.$

シミュレーションを行って、と

E [Z_{1}] \approx 0.3559 + 0.0005 i

$E[Z_1] \approx 0.3559 + 0.0005i$

E [Z_{2}] \approx - 0.6421 - 0.0005 i .

$E[Z_2] \approx -0.6421 - 0.0005i.$

この結果を確認するには、この値を数学的に計算する必要があります。たとえばの場合、これは積分を計算することを意味します $E[Z_1]$

\frac{1}{8} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} d a d b d c .

$\frac{1}{8}\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ da\ db\ dc.$

残念ながら、統合の順序を変更すると、この積分の値が異なるように見えます。Wolframalphaで計算してみました。それは私にゼロを与えるか、次数によっては計算できません。おそらくこれは、という用語が積分の区間で無限大になるため、フビニの定理を使用できないためです。積分の計算に失敗したのか、が本当に定義されていないのかはません。この2番目のシナリオは、に期待値がないため、ランダム多項式にルートが期待されていないことを意味します。これは奇妙なシナリオだと思うので、本当にそうであるかどうかを確認する必要があります。 $\frac{1}{2a}$ $E[Z_1]$ $Z_1$ $Ax^2 + Bx + C$

uniform polynomial

— 積分
ソース

場合の虚数部が0でそれ以外の場合は非ゼロであり、それがゼロでない場合、虚部の平均の大きさが2.68倍としてについて対応あろう（0.6272約確率で）両方のケースセットを平均化することで得られる大きさです。両方のケースで平均化するつもりですか？の値は-4〜5の範囲にあり、分布は対称的ではありません。実際、それはガンダルフの帽子のような見た目

Δ = B^{2} - 4 A C \geq 0

$\Delta=B^2-4AC\geq 0$

Δ

$\Delta$

— Glen_b -Reinstate Monica

使用する複雑なルートを選択するまで、とは適切に定義されません。その選択は彼らの分布に影響を与えます。

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

それらは明示的に与えられていません。すべての数には2つの複素平方根があります。あなたは1つがために使用される選択する必要がのために、どの。

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

たとえば、の一意の値はありません。2つの複雑な値の1つです。どちらも実在しないため、どちらか一方を「正」または「負」と呼ぶのは意味がありませんに割り当てるものとに割り当てるものを選択するます。あなたのソフトウェアはあなたのために選択をしなければなりませんでした－しかしそれはそれが唯一の選択であることを意味しません。たとえば、en.wikipedia.org / wiki / Branch_pointを参照してください。

\sqrt{i}

$\sqrt{i}$

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

区別と平方根に先行する符号に応じて異なり、明示的に正と負との間の区別です。それにもかかわらず、あなたの観察は、最終的にそれが問題ではないことを示しています。しかし、いずれのシミュレーションの具体的な結果が行うこのようないくつかの規則に依存します。

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

使用する複雑なルートを選択するまで、とは適切に定義されません。その選択は彼らの分布に影響を与える可能性があります。（実際には、周りの、、および対称性のため、そうではありません。） $Z_1$ $Z_2$ $A$ $B$ $C$ $0$

いずれにせよ、は明確に定義されている、そのような選択をして、に有限の期待値があるとします。と独立性、およびの密度が近くでゼロに近づかないという事実から、確率変数の比率または逆数は、期待を持たないという点で問題があることが多いと聞きました。何故ですか？そのは期待がありません。ただし、であるため、と少なくとも1つが期待できないことを示す矛盾が生じます。 $Z_1+Z_2=-B/A$ $Z_i$ $A$ $B$ $A$ $A=0$ $-B/A$ $E[-B/A]=E[Z_1+Z_2]$ $Z_1$ $Z_2$

期待ことも、この問題の対称性から議論することができ、それが存在する場合、ゼロでなければなりません。（の分布と分布は同じですが、の対応する分布はそれぞれの負ですその他。 エルゴは、彼らの期待も、互いの陰性でなければならない。）従って各々の期待わずかである。これは積分としてより単純な式を持っています： $\sqrt{B^2-4AC}/(2A)$ $(A,B,C)$ $(-A,B,-C)$ $\sqrt{B^2-4AC}/(2A)$ $Z_i$ $E[-B/(2A)]$

E [- B / 2 A] = \frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} - \frac{b}{2 a} d a d b

$E[-B/2A] = \frac{1}{4}\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 -\frac{b}{2a} da db$

それを反復積分として評価しようとするかもしれません（Fubiniの定理によると）。ただし、（に関して）内部積分は発散し。 $a$ $0$

lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{- d a}{a} = lim_{t \to 0^{+}} \log (t) \to - \infty

$\lim_{t\to 0^{+}} \int_t^1 \frac{-da}{a} = \lim_{t\to 0^{+}}\log(t) \to -\infty$

ながら

lim_{t \to 0^{-}} \int_{- 1}^{t} \frac{- d a}{a} = lim_{t \to 0^{-}} (- \log (- t)) \to \infty,

$\lim_{t\to 0^{-}} \int_{-1}^t \frac{-da}{a} = \lim_{t\to 0^{-}}(-\log(-t)) \to \infty,$

未定義であることを示しています。そのため、積分の順序を変更すること（Fubiniの定理は適用されません）を変更して、の積分のを取得し、期待値の（誤った）値を取得することは無効です。 $0$ $b$ $0$

どちらの分析でも、困難の原因は明らかですは、ゼロの近傍で無視できない密度を持っています。 $A$

— whuber
ソース