ボックスプロットノッチ対Tukey-Kramer間隔

'R'のボックスプロットからの「ノッチ」ヘルプドキュメント（または元のテキスト）は、次のようになります。

2つのプロットのノッチが重ならない場合、これは2つの中央値が異なることを示す「強力な証拠」です（Chambers et al、1983、p。62）。使用される計算については、boxplot.statsを参照してください。

そして ' boxplot.stats 'は以下を与えます：

ノッチ（要求された場合）は+/- 1.58 IQR / sqrt（n）まで拡張されます。これは、McGill et al（1978、p。16）で与えられたChambers et al（1983、p。62）の1.57の式と同じ計算に基づいているようです。それらは、中央値の漸近的正規性と、比較される2つの中央値のサンプルサイズがほぼ等しいことに基づいており、サンプルの基になる分布に比較的鈍感であると言われています。考えは、2つの中央値の差に対して約95％の信頼区間を与えることであると思われます。

これで、JMPバージョンのTukey-Kramerテストを使用して列の平均を比較することに慣れました。 JMPのドキュメントはこれを提供します：

平均間のすべての違いに対応するサイズのテストを表示します。これは、TukeyまたはTukey-Kramer HSD（正直有意差）テストです。（Tukey 1953、Kramer 1956）。このテストは、サンプルサイズが同じ場合は正確なアルファレベルのテストであり、サンプルサイズが異なる場合は控えめです（Hayter 1984）。

質問：2つのアプローチ間の接続の性質は何ですか？一方を他方に変換する方法はありますか？

中央値のおよそ95％のCIを探しており、重複があるかどうかを判断しているようです。もう1つは、2セットのサンプルの中央値が互いに妥当な範囲内にあるかどうかを判断するための「正確なアルファテスト」です（私のサンプルは同じサイズです）。

パッケージを参照していますが、ロジックの背後にある数学に興味があります。

— EngrStudent
ソース

ノッチ付き箱ひげ図に関する限り、質問で言及されたMcGill et al [1]のリファレンスにはかなり完全な詳細が含まれています（ここで私が言うすべてがそこに明示的に述べられているわけではありませんが、それを理解するには十分詳細です）。

間隔はロバスト化されていますが、ガウスベースの間隔です

この論文では、ノッチの次の間隔を引用しています（はサンプルの中央値、はサンプルの四分位範囲）。 $M$ $R$

M \pm 1.7 \times 1.25 R / (1.35 \sqrt{N})

$M\pm 1.7 \times 1.25R/(1.35\sqrt{N})$

どこ：

$1.35$ $\sigma$ $\sigma$ $R/1.35$ $\sigma$
$1.25$ $\frac{1}{4nf_0^2}$ $f_0$ $f_0$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\approx \frac{0.3989}{\sigma}$ $\frac{1}{2\sqrt{N}f_0}= \sqrt{\pi/2}\sigma/\sqrt{N}\approx 1.253\sigma/\sqrt{N}$

$N$

$1.25R/(1.35\sqrt{N})$
ですから、あとは1.7の因数だけです。

1つのサンプルを固定値（仮説の中央値など）と比較する場合、5％の検定に1.96を使用することに注意してください。その結果、2つの非常に異なる標準エラー（1つは比較的大きく、1つは非常に小さい）があった場合、それは使用する要因についてのものになります（nullがtrueの場合、差はほぼ完全に大きくなります。標準エラー、および小さなエラーは-ほぼ-効果的に修正されたものとして扱うことができます）。

$1.96/\sqrt{2}\approx 1.386$

$r$ $r:1$ $1.96/\sqrt{1+1/r}$

これらすべてをまとめると（1.35、1.25、1.7）、約1.57になります。一部のソースは、1.35または1.25（または両方）をより正確に計算することにより1.58を取得しますが、1.386と1.96の間の妥協として、1.7は2つの有効数字に対しても正確ではないため、追加の精度は次のとおりです。意味がない（彼らはちょうど全部を1.6に丸めてそれで終わっているかもしれない）。

ここでは、複数の比較を調整することはできません。

Tukey-Kramer HSDの違いの信頼限界には、いくつかの明確な類似点があります。

{\bar{y}}_{i ∙} - {\bar{y}}_{j ∙} \pm \frac{q_{α; k; N - k}}{\sqrt{2}} {\hat{σ}}_{ε} \sqrt{\frac{1}{n_{i}} + \frac{1}{n_{j}}}

$\bar{y}_{i\bullet}-\bar{y}_{j\bullet} \pm \frac{q_{\alpha;k;N-k}}{\sqrt{2}}\widehat{\sigma}_\varepsilon \sqrt{\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}}$

ただし、

$c.\sqrt{\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}}$ $k.\sqrt{\frac{1}{n_{i}}}$ $k.\sqrt{\frac{1}{n_j}}$ $1.96$ $1.96/\sqrt{2}$
それは中央値ではなく平均に基づいています（1.35ではありません）
$q$ $\sqrt{2}$

したがって、コンポーネントのフォームの背後にあるいくつかのアイデアは多少類似していますが、実際には、それらがしていることはかなり異なります。

[1] McGill、R.、Tukey、JWおよびLarsen、WA（1978）箱ひげ図のバリエーション。アメリカの統計学者32、12-16。

— Glen_b-モニカの復活
ソース