二次形式の法線の分布

の分布を把握しようとしていますここで、、にとると、および（*）の分布については不明です

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— ザイレイチェン
ソース

当サイトへようこそ！これはコースや教科書の質問ですか？その場合は、[self-study]タグを追加してWikiをお読みください。そうでなければ、この問題がどのような状況で発生したかを知ることは興味深いでしょう。あなたがやったことと行き詰まっているところを教えてくれてありがとう

— Silverfish

@Silverfishいいえ、これは私が理解しようとしているものです。私はこの単純な質問まで問題を抽出しました。私の元の問題はかなり複雑です、私は恐れています！だから、私は本当に助けが必要な部分だけを尋ねようとしました。しかし、これが教科書の問題のように見える場合は、関連する情報を提供することを期待して、どのテキストから学ぶか非常に興味があります:)

— Zailei Chen

それは賢明なようです！また、ラテックス組版を使用していただきありがとう

— ございます。

ここに試みがあります：

検討するようにとと $Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

計算可能なMGFに削減できるかどうかはわかりません。

— 権利
ソース

少し一般的な状況についてのいくつかの議論は、stats.stackexchange.com/questions/72479にあり、近似を提供する論文を参照しています。

— whuber