円卓で相手と向き合っていない確率

カップルがランダムに円卓に着席している場合、パートナーの反対側に誰も着席していない可能性はどれくらいですか？

4人の場合、答えは2/3です。

6つあれば8/15だと思います。

その後、すべての可能性を埋め、さまざまな期待値の合計で終わる私の段階的な方法は、かなり面倒になります。興味深いことに、直感的なアプローチでは（4/5）x（2/3）の形で6人の人に正しい答えが得られますが、これを一般化するのに苦労しています。2n人（nカップル）の場合の公式につながる、きちんとした方法はありますか？

probability

— ジョン
ソース

回答:

分析

推測して、それが正しくなるまで体系的に推測を改善していきましょう。

まず、答えが推測します。もちろんそれは間違っています。間違いを確認するには、各ペアの一方に「赤」ともう一方の「青」のラベルを付けます。赤の個人の視点から見ると、彼らの（青）パートナーが向かい合って座っている可能性はです。赤い個体がいるので、その最初の推測からを引いてみましょう。 $1$ $1/(2n-1)$ $n$ $n\times 1/(2n-1)$

しかし、待ってください。カップルのすべてのペアが二重にカウントされているため、それはまだ完全に正しくありません。1つのカップルが反対側に座っている場合、カップル、場所が残り、任意のRed個人の観点から、それらが2番目のカップルの一部である可能性はです。したがって、を再度追加する必要があります。 $n-1$ $2n-2$ $1/(2n-3)$ $\binom{n}{2}\times 1/(2n-1)\times 1/(2n-3)$

しかし、今は、トリプルのカップルからの結果に対する寄与を過小評価しており、これを修正する必要があります。そして、最終的には、式にカップルすべてを収容するまでです。（もちろん、これは実際の包含/除外の原則にすぎません。） $n$

結果の式は

\begin{matrix} (1) & \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) \frac{1}{(2 n - 1) (2 n - 3) \dots (2 n - 2 i + 1)} =_{1} F_{1} (- n, - n + \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) . \end{matrix}

$\sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} \frac{1}{(2n-1)(2n-3)\ldots (2n-2i+1)} = {_1}F_1\left(-n, -n+\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right).\tag{1}$

計算

正の整数の、クンマーは超幾何関数コンフルエント次の多項式であるで。クンマー変換から $n$ ${_1}F_1\left(-n, -n+\frac{1}{2}, z\right)$ $n$ $z$

_{1} F_{1} (- n, - n + \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) = e^{- 1 / 2}_{1} F_{1} (\frac{1}{2}, - n + \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

${_1}F_1\left(-n, -n+\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) = e^{-1/2}\ {_1}F_1\left(\frac{1}{2}, -n+\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$

が大きくなるにつれて確率の制限値がと推測するのは簡単です。収束は遅いです。追加の10進数を取得するには、にを掛ける必要があります。それでも、正確な（倍精度）値は、左辺の合計の項が累乗よりもゆっくりと成長することに注意することにより、任意のについてすばやく計算できます。したがって、がに達するまでに、新しい値はと比較して本質的にゼロになります（実際、より詳細な分析では、加算を停止することが示唆されています $n$ $e^{-1/2} \approx 0.6065306597\ldots$ $n$ $10$ $n$ $(1)$ $-1/2$ $i$ $52$ $e^{-1/2}$ $i=45$ 働くでしょう）。

この式は、特定のコンピューティング環境では、対数ガンマ関数が不正確であるため、が10,000,000を超えると分解されます。この問題は、シリーズの項を計算するときに生じる差異の相殺から発生します。が十分に大きい場合のこれらの差に対する優れた近似は、で見つけることができます。ここで、は（ディガンマ関数）の導関数です。これは、計算時間を少し犠牲にして、以下のコードで実装されます。 $n$ $n$ $\psi(n-1/4)$ $\psi$ $\log \Gamma$

実装

次のRコードは、1秒あたり約20,000の倍精度値を計算します。

f <- function(n) {
  h <- function(n) {
    ifelse(n < 1e6, lfactorial(n) - lfactorial(n-1/2), digamma(n+3/4)/2)
  }
  m <- min(n, 46)
  k <- 0:m
  x <- exp(h(n) - h(n-k) - lfactorial(k) - k*log(2)) * (-1)^k
  sum(x)
}

例として、が大きいlog(f(n))場合の制限値にどれだけかを追跡してみましょう。上記に記載の各要素における精度を制限するの小数位を付加します。レッツ従って見の比の対数の小数点場にの全体の電力のため、からを介して： $-1/2$ $n$ $10$ $n$ $n^\text{th}$ $f(n)$ $e^{-1/2}$ $10$ $n=10^1$ $n=10^{14}$

> round(sapply(1:14, function(n) 10^n * (log(f(10^n)) + 1/2)), 3)

[1] -0.255 -0.251 -0.250 ... -0.250 -0.249 -0.249 -0.400

（中央から7つの値が省略され、すべてに等しい-0.250。）一定のパターンは明確です。最後に、、精度が低下していることを示し、故障し始めます。これを改善するには、おそらく高精度の演算が必要になります。 $n=10^{14}$

— whuber
ソース

これで、PIEの意味がわかりました。

— マシューグレイブス

なぜ直感的な方法が機能するのですか？

テーブルはペアのコレクションと考えてください。つまり、ブリッジテーブルの従来のノースウエストイーストサウスクロスの代わりに、2つの行を持つテーブルのように見えます。

南北

西東

北が1つのカップルのシニアパートナーであることを条件にすると、南がそのカップルのジュニアパートナーになる1/3の確率があり、それによって西と東がカップルになるように強制され、南が2/3のチャンスになる他のカップルのメンバーになるので、最後のセットもカップルではありません。

からに拡張するときは、テーブルに行を追加するだけです。 $n=2$ $n=3$

北西南東

南北

西東

Northwestを常に最初のカップルのシニアパートナーとして設定した場合、ペアになっているカップルがいて停止できるという可能性が明らかにあり、可能性があります問題はありませんが、続行できます。 $\frac{1}{5}$ $\frac{4}{5}$

ただし、小さな問題は別の問題であり、「偶然にも」同じです。4人と2人のカップルが問題に入るのではなく、1人のカップルと2人のシングルが必要で、カップルがペアになる可能性は（以前と同じ理由により）。 $\frac{1}{3}$

これにより、再帰的なアプローチが可能になります。2つのパラメーター使用して問題について話すことができます。ここで、は人数、はカップルの数を表します。したがって、は（つまり、4人のカップルが8人の場合、最初の割り当て時に失敗する可能性がありますペア、それから私たちが生き残る場合、2つのカップルと6人の失敗の可能性）、そしてために4つのケースを拡張する必要があります： $(n,c)$ $n$ $c$ $(8,4)$ $\frac{6}{7}(6,2)$ $\frac{1}{7}$ $(6,2)$

$\frac{2*1}{6*5}(4,2)$
$\frac{4*2*2}{6*5}(4,1)$
$\frac{4*2}{6*5}(4,0)$ $(4,0)=1$
両方が同じカップルでした：（これは損失状態です） $\frac{4*1}{6*5}$

あなたが通り抜けてすべての数学をやれば、私はあなたがになると思います $\frac{20}{35}$ $\frac{6}{7}\frac{8}{15}$

私はあなたが組み合わせ式を使って閉じた形で答えを得ることを可能にする即時のトリックを知りませんが、それが存在する可能性があるようです。[編集：解決策についてはwhuberの回答を参照してください。]

— マシュー・グレイブス
ソース

（+1）PIEを使用すると、すぐに式を取得できます。

— whuber

マシューに感謝します。私は同様の線に沿って作業していました（各段階で利用可能な対角線の観点から考えた）が、それを組み合わせ公式に変えることもできませんでした（ただし、whuberはそれが可能だと言っていますが）。

— John

マシュー：正解が20/35であれば、これは（6,2）が2/3であることを意味します。私の直感は、最初のステップの後は常に2/3であるということでした。古い冗談で馬鹿な数学者の論理に従います：farmdale.com/emp-jokes.shtml一般的な答えは（2/3）x（2n-2）/（2n- 1）n組の場合....しかし、私が8人のケースで作業した場合、2/3の回答ではなく、（6,2）のラベルが付いたものに対して8/9が返されます

— John

@ジョン・オー、それは私が考えていたシーケンスではありません。私には、8,3は.7を超えているように見えますが、6,2が2/3であることは別の「一致」だと思います。6、2、8 / 9の生存率は高すぎます。最初に選択した人がペアの一部であると仮定します。その後、あなたが彼らのパートナーを選んで負ける確率は1/5です。（それらがシングルトンの一部である場合、すべての可能なピックが4、2または4、1につながることは明らかである必要があります。その場合、負けの確率は1/3です。）

— Matthew Graves

ああ、そうです、あなたは（6,2）について正しいです。対角線を埋めるのではなく、一度に1つずつ場所を埋めていきますが、（6,2）から（5,1）への遷移で（4,1 ）配置のいくつかは失敗です（つまり、カップルは互いに向かい合って座っていました）。同様に、（4,1）から（3,0）から（2,0）まで。（2,1）と比較して、プロセスのエンドポイント（2,0）に集中しすぎていました。私はそれを続けます。

— John