総予想の法則/タワーのルール：両方の確率変数が同じ確率空間に由来する必要があるのはなぜですか？

私はウィキペディアの定義から引用します（私の強調）：

総期待値の法則として知られる確率理論の命題は、Xが可積分確率変数（つまり、E（| X |）<∞を満たす確率変数）であり、Yが任意の確率変数である場合、同じ確率空間上で可積分である場合、

$$\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y))$$

同じ確率空間でそれらが何を意味するのか、またこれが定義の重要な部分である理由がわかりません。ページのさらに下の例を見てください。

2つの工場が電球を市場に供給しているとします。工場Xの電球は平均5000時間稼働しますが、工場Yの電球は平均4000時間稼働します。工場Xは利用可能な電球の合計の60％を供給していることが知られています。購入した電球が使用できる予想時間はどれくらいですか？

ここの確率変数は次のようです：

1. 電球が持続する時間の長さ。
2. 電球が由来する工場。

これら2つはどのように同じ確率空間を持つことができますか？

同じ確率空間とはどういう意味かわかりません

それが問題です。

確率論の対象（ランダム変数、分布など）を考える標準的な方法は、コルモゴロフの公理によるものです。これらの公理は測度理論の言語で組み立てられていますが、測度理論なしで単純なケースを理解することはかなり可能です。

基本的に、確率モデルは3つの要素で構成されます。「世界の真の状態」（または少なくともそれについて知る必要のあるすべて）を要約する個々の要素と考えることができるセット。のサブセットのコレクション（その要素は、確率を測定する必要がある可能性のあるイベントです）。確率測度は、イベントを受け取り、数値を吐き出す関数です（その解釈は、イベントが発生する確率です）。トリプルは確率空間として知られています$\Omega$$\mathcal{F}$$\Omega$$P$$E \in \mathcal{F}$$P(E) \in [0, 1]$$E$$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 特定の自然な特性を満たしている限り（たとえば、数え切れないほど多くのばらばらなイベントの結合の確率は、それらの確率の合計です）。

このフレームワークでは、確率変数はからまでの関数です。あなたの例では、2つのランダム変数があります（電球が持続する時間）と（電球の出荷元の工場）です。$X$$\Omega$$\mathbb{R}$$T$$F$

これら2つはどのように同じ確率空間を持つことができますか？

我々は確率空間定義方法：問題は今になると機能下の問題をモデル化するような方法で考慮。多くの方法がありますが、単純な方法はです。要素は、時間続く、工場からの特定の（ランダムではない）電球を指定します。次におよびを定義します。の同時分布はと指定することで定義されます。$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$T, F : \Omega \to \mathbb{R}$$\Omega = \{ (f, t) : f = 0, 1, t > 0 \}$$(f, t) \in \Omega$$f$$t$$T(f, t) = t$$F(f, t) = f$$(T, F)$$\mathcal{F}$$P$

理解できません...これが定義の重要な部分である理由

別の確率変数が与えられた確率変数の条件付き期待値は、それ自体、特定の特性を満たす確率変数のタイプであると定義されています。ここで正式な定義を見つけることができますが、測度理論の確率に慣れていないと、かなり難解に思えるかもしれません。基本的に、とが同じ確率空間で定義されていない場合、この定義は意味がありません。ただし、最終的には、一般的な確率空間で2つの確率変数を定義しても問題はないため、この条件は技術的なものになります。X Y X $E[X \mid Y]$$X$$Y$$X$$Y$