多変量経験的分布関数（ECDF）を計算するためのアルゴリズム？

1次元ECDFの計算はかなり簡単です。ただし、2次元以上になると、オンラインリソースはまばらになり、到達が困難になります。多変量ECDFを計算するための効率的なアルゴリズム（既製の実装ではない）を提案、定義、および/または提示できますか？

さらに調査すると、次の論文はkD ECDF問題の効率的なアルゴリズムを示しています。

ベントレー、JL（1980）。多次元の分割統治。ACMの通信、23（4）、214-229。

導入された主なデータ構造は範囲ツリーと呼ばれ、kdツリーに似ていますが、時間とスペースのトレードオフを使用してより高速な範囲クエリを実現します。上記の論文の著者であるJon Bentley（Programming Pearlsの名声）は、両方のデータ構造の発明者です。

どちらも二分木であり、中央値で座標軸に沿って分割することにより、次元の点のセットを再帰的に分割します。kdツリーでは、ノードのサブツリーが番目の次元に沿って分割されます。ここで、は循環してツリーを下っていきます。範囲ツリーでは、サブツリーは常に最初の次元に沿って分割されますが、各ノードは、残りの次元にわたって定義された次元の範囲ツリーで拡張されます。$k$$d$$d$$1\ldots k$$k-1$

この記事の執筆時点で、上記の「範囲ツリー」のWikipediaページは、2012年頃の2つのツリータイプを比較するCS講義（ユトレヒトU）を指しています。これは、これらのデータ構造が依然として本質的に「最新の技術」であることを示唆しています」範囲ツリーの改善された「フラクショナルカスケード」バリアントについての言及がありますが、全点ECDF問題の場合、これにより、範囲ツリーのクエリを繰り返し実行することで、Bentleyのアルゴリズムのパフォーマンスを実現できます。

データポイントでECDFを計算するより効率的な方法があるかどうかはわかりませんが、次のブルートフォースアプローチは、データ「グリッド」で ECDFを計算するのに効率的です。これは、1Dバージョンの単純な一般化です。

行列で与えられた、次元の点で構成されるデータセットがあるとします。簡単にするために、は完全に一意の番号（つまり、一般的な位置 *）で構成されると仮定します。次の疑似コードでは、アルゴリズムについて私が考えた方法でMatlab表記を使用しますが、興味があればこれを拡張できます。$N$$d$$N\times d$$X$$X$

最初の計算

$[x_{:,k},I_{:,k}]=\text{sort}[X_{:,k}]$ for、$k=1:d$

ここで、は座標ごとのランク行列、は座標グリッド軸行列（両方ともサイズ）です。$I$$x$$N\times d$

次に、データポイントを暗黙のデータグリッドにラスタライズし、として（正規化された）ヒストグラムを計算し 。$P=\text{accumarray}[I,\frac{1}{N},N\times\text{ones[1,d]}]$

次に、この "EPDF"を各次元で統合して、ECDFを取得します for。$P=\text{cumsum}[P,k]$$k=1:d$

ここでは、サンプリングされたECDF です。$P_{i_1,\ldots,i_d}$$x_{i_1,1},\ldots x_{i_d,d}$

このアルゴリズムは、並べ替えごとに、合計ごとにかかるため、合計コストは。グリッドECDF自体に要素があるため、これは本質的に最適であるはずです。$\text{O}[N\log N]$$\text{O}[N^d]$$\text{O}[d(N^d+N\log N)]$$\text{O}[N^d]$

（*個別の点の仮定は、代わりに使用し、少しの簿記を行うことで緩和できます。）$\text{unique}[]$$\text{sort}[]$