既知の平均と分散を持つ比率の最大エントロピー分布？ベータ版ですか？

比率とその標準誤差を考慮して、仮定を最小化/エントロピーを最大化する分布仮定は何ですか？それはベータ版ですか（そして、モーメント法を使用してそのパラメータを推定できますか）？または、他の何か？

— generic_user
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次の分析は、実用的なソリューションを実装するために必要な詳細を提供します。

A標準分布間隔に切り捨て標準正規変数を取ることによって生じる確率分布でによってそれをスケーリング、それをシフト、およびそれを切り捨てます。等価-後方ワーキング-元の変数間隔に切り捨てされている必要があり、それが合計確率があった場合 $(\mu,\sigma)$ $F$ $[0,1]$ $X$ $\Phi$ $\sigma$ $\mu$ $[0,1]$ $X$ $[-\mu/\sigma, (1-\mu)/\sigma]$

\begin{matrix} （1） & C = Φ （ \frac{1 - μ}{σ} ） - Φ （ \frac{- μ}{σ} ） 、 \end{matrix}

$C = \Phi\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right),\tag{1}$

期待

μ_{1} = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} \int_{\frac{- μ}{σ}}^{\frac{1 - μ}{σ}} バツ \exp （ \frac{- {バツ}^{2}}{2} ） d バツ 、

$\mu_1=\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x,$

そして二番目の（生の）瞬間

μ_{2} = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} \int_{\frac{- μ}{σ}}^{\frac{1 - μ}{σ}} {バツ}^{2} \exp （ \frac{- {バツ}^{2}}{2} ） d バツ 。

$\mu_2 = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x^2\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x.$

おそらくあなたの「標準エラー」はまたはそれの定数倍のいずれかです。 $\sqrt{\mu_2-\mu_1^2}$

これらの積分は、

\begin{matrix} （2） & μ_{1} （ z ） = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{z} バツ \exp （ \frac{- {バツ}^{2}}{2} ） d バツ = - \frac{1}{C \sqrt{2 π}} \exp （ - \frac{z^{2}}{2} ） \end{matrix}

$\mu_1(z) = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x = -\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\tag{2}$

そして、部品ごとに統合し、

\begin{matrix} （3） & \begin{aligned} μ_{2} （ z ） & = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{z} （ バツ ） （ バツ \exp （ \frac{- {バツ}^{2}}{2} ） ） d バツ \\ = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} （ バツ （ - \exp （ - \frac{{バツ}^{2}}{2} ） ） |_{- \infty}^{z} - \int_{- \infty}^{z} - \exp （ - \frac{{バツ}^{2}}{2} ） d バツ ） \\ = - \frac{1}{C \sqrt{2 π}} z \exp （ - \frac{z^{2}}{2} ） + \frac{1}{C} Φ （ z ） 。 \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{ \mu_2(z) &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z (x)\left(x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\right)\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\left(x\left(-\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\right)\mid_{-\infty}^z - \int_{-\infty}^z -\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x \right)\\ &=-\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}z\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) + \frac{1}{C}\Phi(z)\tag{3}. }$

したがって

μ_{1} = μ_{1} （ \frac{1 - μ}{σ} ） - μ_{1} （ \frac{- μ}{σ} ）

$\mu_1 = \mu_1\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_1\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right)$

そして

μ_{2} = μ_{2} （ \frac{1 - μ}{σ} ） - μ_{2} （ \frac{- μ}{σ} ） 。

$\mu_2 = \mu_2\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_2\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right).$

これらの計算、、およびは、指数、平方根、およびが利用可能な任意のソフトウェアに実装できます。これにより、モーメント法や最尤法など、任意のフィッティング手順に適用できます。どちらも数値解が必要です。 $(1)$ $(2)$ $(3)$ $\Phi$

— whuber
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