ランダム変数の値の範囲が制限されている場合、

$a$と$b$で区切られた値の範囲を持つランダム変数があるとします。ここで$a$は最小値、$b$は最大値です。

私が言われたように、その$n \to \infty$、どこ$n$私たちのサンプルサイズは、私たちのサンプル手段のサンプリング分布がある正規分布。それは我々が増加するにつれて、ある$n$、我々がどんどん近づいて正規分布に取得しますが、実際の制限として$n \to \infty$である等しい正規分布に。

しかし、それはから延長していることを正規分布の定義の一部ではありません$- \infty$する$\infty$？

範囲の最大値が場合、$b$（サンプルサイズに関係なく）最大サンプル平均はbに等しくなり、最小サンプル平均は$b$に等しくなり$a$。

だから、が無限に近づくにつれて限界をとっても、分布はaとbで区切られているため、実際の正規分布ではないように思えます。$n$$a$$b$

私は何が欠けていますか？

ここに欠けているものがあります。漸近分布ではない（サンプルの平均）が、の$\bar{X}_n$、θは平均であるX。$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$$\theta$$X$

レッツというように確率変数IIDする< X I < BとX iの平均持っθと分散σ 2を。したがって、X iはサポートを制限しています。CLTによると $X_1, X_2, \dots$$a < X_i <b$$X_i$$\theta$$\sigma^2$$X_i$

$$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$$

どこサンプルの平均です。今$\bar{X}_n$

$$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$$

、下限と上限する傾向- ∞と∞として、したがって、それぞれ、及びN → ∞のサポート$n \to \infty$$-\infty$$\infty$$n \to \infty$正確に全体の本当のラインです。$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

私たちが実際にCLTを使用するたびに、私たちは言う、これは常に近似値になります。$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

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編集：混乱の一部は、中央極限定理の誤解によるものだと思います。あなたは正しいサンプリング分布標本平均のです

$$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$$

ただし、サンプリング分布は有限のサンプルプロパティです。あなたが言ったように、ます。これを行うと、≈記号が正確な結果になります。ただし、n → ∞にすると、右側にnを配置できなくなります（nが∞になったため）。で次の文は、それほど間違ってˉ X N D → N （θ 、σ 2 / N ） など  のn → ∞ $n \to \infty$$\approx$$n \to \infty$$n$$n$$\infty$

$$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$$

[ここでは、分布の観点からの収束を表します]。結果を正確に書き留めたいので、nは右側にありません。ここで、ランダム変数のプロパティを使用して取得します$\overset{d}{\to}$$n$

$$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$$

代数がどのように機能するかを確認するには、こちらの回答をご覧ください。

If you're referring to a central limit theorem, note that one proper way to to write it out is

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

under normal conditions ($\mu, \sigma$ being the mean and standard deviation of $x_i$).

この正式な定義を使用すると、左側にいることをすぐに見ることができますすることができ、十分に大きな与えられた任意の有限の範囲の値を取ります$n$。

「平均は大規模な正規分布に近づく」という非公式な考えにつながるようにするため $n$」、我々はそれを実現する必要がある『という正規分布』の手段を任意に近づくとCDFのget として正規分布$n$大きくなります。しかし、$n$ が大きくなると、この近似分布の標準偏差は縮小するため、近似法線の極端なテールの確率も0になります。

たとえば、 $X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$。次に、非公式近似を使用して、

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

So while it is true that for any finite $n$,

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

(implying the approximation is clearly never perfect), as $n \rightarrow \infty$,

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

So that discrepancy between the actual distribution and approximate distribution is disappearing, as is supposed to happen with approximations.