正弦と余弦の相関

仮定均一に分布している。レッツと。と間の相関がゼロであることを示します。 $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

サインとコサインの標準偏差とそれらの共分散を知る必要があるようです。これらをどのように計算できますか？

が均一な分布であり、変換された変数および見ると仮定する必要があると思います。次に、無意識の統計学者の法則が期待値を与える $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

及び

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

（密度は均一な分布であるため一定であり、積分の外に移動できます）。

ただし、これらの積分は定義されていません（ただし、コーシーのプリンシパル値は0だと思います）。

どうすればこの問題を解決できますか？私は解決策を知っていると思います（サインとコサインは反対の位相を持っているので相関はゼロです）が、それを導き出す方法を見つけることができません。

— ウクレディ
ソース

述べたように、あなたの問題は不十分に定義されています。相関は、関数ではなく確率変数に適用される概念です。（正式には、確率変数は一種の関数、つまり確率空間からボレル測度を備えた実数までの測定可能な関数です。しかし、「サイン関数」と言っても、確率測度については何もわかりませんドメイン、これは共同分布を含む確率的情報を取得するものです。）

— Kodiologist

X

$X$

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

その場合は、散布図を描くだけでよく、統合は必要ありません。その散布図は、（明らかに）単位円上の均一な分布です。円は原点を介した反射の下で対称であるため、相関は負であり、ゼロである必要がありますQED。

— whuber

以来

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

相関も0でなければなりません。

— コディオロジスト
ソース

私は本当に対称性から@ whuberの主張のようなので、ここで推敲のビットだ、それはコメントとして失われることしたくありません。

$(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

$\text{Cov} (X, Y) = 0$

ちょうど美しい幾何学的な議論。

— マシュードゥルーリー
ソース