2x2テーブルのセルをファイ係数と限界確率で表現する方法

周波数の典型的な2x2テーブルを考えます（この画像に示されています）。表記：行変数はRで表され、値0または1をとります。列変数はCで表され、値0または1をとります。表のセルは、RとCの各組み合わせの頻度を示します。たとえば、bはR = 0およびC = 1の頻度です。私の質問の目的のために、セルの数が合計で除算され、セルの値がセルの結合確率であると仮定します。

$b$

Iは、の点で細胞確率表現したいPHI係数（以下に提供式との相関の測度である）と周辺確率及び μ C ≡ P （$\mu_R\equiv p(R\!=\!1) = c+d$です。つまり、次の4つの方程式系を反転させます $\mu_C\equiv p(C\!=\!1) = b+d$

$$\begin{align} \phi &\equiv (ad-bc)/\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \tag{by defn}\\ \mu_{R} &= c+d \tag{by defn}\\ \mu_{C} &= b+d \tag{by defn}\\ 1 &= a+b+c+d \tag{constraint} \end{align}$$ と、もちろん、$0 \le a,b,c,d \le 1$。換言すれば、私は、を解くためにたい、B、C、及びDの点でφ、μ R、およびμ C。$a$$b$$c$$d$$\phi$$\mu_{R}$$\mu_{C}$

この問題はおそらく誰かによって以前に解決された可能性がありますが、私の検索ではソースが得られず、代数での微弱な試みでも答えが得られず、このケースを処理するオンラインの（非線形）方程式インバーターを見つけることができません。

我々は簡単の分母のすべての因子を認識ので、+ B = 1 - μ RとA + C = 1 - μ C。したがって、たくさんの平方根を書くことを避けるために、小さな単純化から始めましょう：$\phi$$a+b=1-\mu_R$$a+c=1-\mu_C$

$$\Delta=ad - bc = \phi \sqrt{\mu_R(1-\mu_R)\mu_C(1-\mu_C)}.$$

見つけましょう：$d$

$$\eqalign{d &= (1)d = (a+b+c+d)d = ad +bd +cd + d^2 \\ &= ad + (-bc + bc) + bd + cd + d^2 \\ &= (ad - bc) + (c+d)(b+d) \\&= \Delta + \mu_R\mu_C.}$$

$a$$b$$c$$a$$b$$c$$d$$\mu_C$$1-\mu_C$$\Delta$

$$c = -\Delta + \mu_R(1-\mu_C).$$

$a$$c$$b$$d$$\mu_R$$1-\mu_R$$\Delta$

$$b = -\Delta + (1-\mu_R)\mu_C.$$

行と列の両方を交換すると、

$$a = \Delta + (1-\mu_R)(1-\mu_C).$$

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$a,b,c,d$$a+b+c+d=1, c+d=\mu_R,$$b+d=\mu_C$$ad-bc=\Delta$