ポアソン、二項、負の二項分布と正規分布の関係

離散カウント分布を定義する必要がある場合、通常は次を使用します。

ポアソン分布、平均=分散の場合
二項分布、平均の場合>分散
負の二項分布、平均<分散の場合

私の質問は、正規分布を使用して概算することは可能ですか？たとえば、ポアソン分布（平均= 4）を得るには、正規分布（平均=分散= 4）から始めます。

x=seq(0,20,1)
plot(x,dpois(x,4))
points(x,dnorm(x,4,2),col=2)

2つの密度に大きな違いはないことがわかります。ここで、しきい値とルールを定義すると、次のようになります。

通常の法則の結果が負の場合、それは0です
x = 6.2の場合、6などになります。

正規分布からこのような近似を使用して、ポアソン分布を完全に定義することは可能ですか？負の二項と二項についても同じことが言えます。

なぜこれをしようとするのですか？通常、実際のデータでポアソン分布を定義しようとすると、平均=分散はありません。したがって、ポアソン分布を使用する場合、これはほぼこの条件があるためです。これらの3つのケースについて、（実際のデータから）推定された平均と分散を使用して議論する必要があります。

だから、私の考えは常に使用することです

正規分布を定義するための経験的平均と分散
次に、これらのパラメータの関数でいくつかの「ルール」を定義します
シミュレートされた離散カウントデータの平均と分散を計算するために、初期の経験的平均と分散を検証できます。

離散カウントデータをシミュレートする場合、ポアソン分布、二項分布、または負の二項分布を使用するのではなく、この方法についてどう思いますか？

— Xiaoshi
ソース

二項分布は、各試行で成功する確率が同じである、固定された（つまり、ランダムではない）数の独立した試行における成功数の分布です。サポートされるのは、有限のセットです。ここで、は試行の数です。 $\{0,1,2,\ldots,n\}$ $n$
負の二項分布は、固定された（つまり、ランダムではない）成功前の失敗数の分布です。ここでも、独立した試行が行われ、各試行で同じ成功確率が示されます。そのサポートは、無限のセットです。 $\{0,1,2,3,\ldots\}$
ポアソン分布は、各試行で成功の可能性が無限に小さい、無数の独立した試行での成功の数として大まかに特徴付けることができます。成功の予測数は、一定の正の数です。これは、試行の数が近づき、各試行の成功確率がに近づくため、期待される成功数が一定になるか、少なくとも正の数に近づく二項分布の限界です。 $\infty$ $0$

二項分布の場合、平均は分散よりも大きく、負の二項分布の場合、平均は分散よりも小さく、ポアソン分布の場合、それらは等しくなります。

しかし、それはない本当のこと、そのサポート基数のいくつかのセットがあり、平均はその後、分散に等しい場合、それはポアソン分布である、すべての配布のためにもその平均値が分散よりも大きい場合、それは二項分布で、でももしその平均は分散よりも小さく、負の二項分布です。たとえば、二項分布と同様に、置換なしのサンプリングから生じる超幾何分布の平均は分散より大きくなりますが、分布は同じではありません。セットの一様分布の場合、場合 $\{0,1,2,\ldots,n\}$ $n>4$ その場合、分散は負の二項分布と同様に平均より大きくなりますが、分布は同じではありません。セットの一様分布の場合、分散はポアソン分布と同様に平均と等しくなりますが、分布は同じではありません。 $\{0,2\}$

もし次には、が大きい場合、の分布は、合計が近い多数のポアソン分布確率変数の合計の分布と同じになるためです。これは、独立したポアソン分布確率変数の合計がポアソン分布であるため、中心極限定理を適用できるためです。 $X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$

\frac{X - λ}{\sqrt{λ}} \overset{D.}{⟶} N (0, 1) as λ \to \infty

$\frac{X-\lambda}{\sqrt\lambda} \overset{\text{D.}} \longrightarrow N(0,1) \text{ as } \lambda\to\infty$

λ

$\lambda$

X

$X$

1

$1$

もし次にので、の合計と同じ分布有しとして配布独立ランダム変数ので、再度中心極限定理が適用されます。 $X\sim\mathrm{Binomial}(n,p)$

\frac{X - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} \overset{D.}{⟶} N (0, 1) as n \to \infty

$\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \overset{\text{D.}}\longrightarrow N(0,1) \text{ as } n \to \infty$

X

$X$

n

$n$

B i n o m i a l (1, p)

$\mathrm{Binomial}(1,p)$

パラメータの負の二項分布は、番目の成功前の失敗数の分布であり、試行ごとに成功の確率を持ちます。場合そう分配され、その後我々はため、の和と同じ分布を有するパラメータと負の二項として配布独立確率変数ので、再び、定理が適用中心極限。 $r,p$ $r$ $p$ $X$

\frac{X - (p r / (1 - p))}{\sqrt{p r} / (1 - p)} \overset{D.}{\to} N (0, 1) as r \to \infty

$\frac{X- (pr/(1-p)) }{\sqrt{pr}/(1-p)} \overset{\text{D.}} \to N(0,1) \text{ as } r\to\infty$

X

$X$

r

$r$

1, p

$1,p$

これらの種類の分布のいずれかを正規分布で近似する場合、偶数はイベントと同じであることに注意してください。そのため、次の確率を見つける連続性補正を使用します。 $[X\le n]$ $[X<n+1]$ $[X\le n+\frac 1 2]$ 正規分布に従って。

— マイケル・ハーディ
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