線形回帰の標準誤差は、通常、応答変数に対して与えられるため、他の方向の信頼区間を取得する方法を考えています。たとえば、x切片の場合です。私はそれが何であるかを視覚化することができますが、これを行う簡単な方法があるはずだと確信しています。以下は、これを視覚化する方法のRの例です。

set.seed(1)
x <- 1:10
a <- 20
b <- -2
y <- a + b*x + rnorm(length(x), mean=0, sd=1)

fit <- lm(y ~ x)
XINT <- -coef(fit)[1]/coef(fit)[2]

plot(y ~ x, xlim=c(0, XINT*1.1), ylim=c(-2,max(y)))
abline(h=0, lty=2, col=8); abline(fit, col=2)
points(XINT, 0, col=4, pch=4)
newdat <- data.frame(x=seq(-2,12,len=1000))

# CI
pred <- predict(fit, newdata=newdat, se.fit = TRUE) 
newdat$yplus <-pred$fit + 1.96*pred$se.fit 
newdat$yminus <-pred$fit - 1.96*pred$se.fit 
lines(yplus ~ x, newdat, col=2, lty=2)
lines(yminus ~ x, newdat, col=2, lty=2)

# approximate CI of XINT
lwr <- newdat$x[which.min((newdat$yminus-0)^2)]
upr <- newdat$x[which.min((newdat$yplus-0)^2)]
abline(v=c(lwr, upr), lty=3, col=4)

線形回帰でx切片の信頼区間を計算する方法は？

仮定

• $y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$
• $\epsilon | X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I_n)$
• 通常の最小二乗を使用してフィット

x切片の信頼区間を計算する3つの手順

• テイラー展開（使いやすい）
• マーク・イン・ザ・ボックス方式（MIB）
• CAPITANI-POLLASTRI（https://boa.unimib.it/retrieve/handle/10281/43053/64388/DECAPITANI_Pollastri.pdf）

一次テイラー展開

$Y=aX+b$$\sigma_a$$\sigma_b$$a$$b$$\sigma_{ab}$

$$aX+b=0 \Leftrightarrow X= \frac{-b} a.$$

$\sigma_X$$X$

$$\left( \frac {\sigma_X} X \right)^2 = \left( \frac {\sigma_b} b \right)^2 + \left( \frac {\sigma_a} a \right)^2 - 2 \frac{\sigma_{ab}}{ab}.$$

MIB

線形回帰のx切片の信頼区間を計算する方法のボックスにあるMarcのコードを参照してください。。

CAPITANI-POLLASTRI

CAPITANI-POLLASTRIは、2つの相関された正規確率変数の比率に対する累積分布関数と密度関数を提供します。線形回帰でx切片の信頼区間を計算するために使用できます。この手順では、MIBの結果と（ほぼ）同一の結果が得られます。

$\hat\beta \sim \mathcal{N}(\beta, \sigma^2 (X^TX)^{-1})$$\hat{\beta}$（確認）」sが相関しています。

手順は次のとおりです。

• OLS推定量を取得する$a$$b$ます。
• $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_{ab}=\rho\sigma_a\sigma_b$。
• $a$$b$$\mathcal{N}(a, b, \sigma_a, \sigma_b, \rho)$$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$
• の累積分布関数を使用する$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$

3つの手順の比較

手順は、次のデータ構成を使用して比較されます。

• x <-1:10
• a <-20
• b <--2
• y <-a + b * x + rnorm（length（x）、mean = 0、sd = 1）

3つの方法を使用して、10000の異なるサンプルが生成および分析されます。生成と分析に使用されるコード（R）は、https：//github.com/adrienrenaud/stackExchange/blob/master/crossValidated/q221630/answer.ipynbにあります。

• MIBとCAPITANI-POLLASTRIは同等の結果を与えます。
• 1次のテイラー展開は、他の2つの方法とは大きく異なります。
• MIBおよびCAPITANI-POLLASTRIは、カバー範囲が不足しています。68％（95％）のciには、63％（92％）の真の値が含まれています。
• 一次テイラー展開は、過剰カバレッジに悩まされています。68％（95％）のciには、87％（99％）の真の値が含まれていることがわかります。

結論

x切片の分布は非対称です。非対称の信頼区間を正当化します。MIBとCAPITANI-POLLASTRIは同等の結果を与えます。CAPITANI-POLLASTRIには理論的な根拠があり、MIBの根拠を提供します。MIBおよびCAPITANI-POLLASTRIは、適度なアンダーカバレッジに悩まされており、信頼区間を設定するために使用できます。

残差をブートストラップすることをお勧めします：

library(boot)

set.seed(42)
sims <- boot(residuals(fit), function(r, i, d = data.frame(x, y), yhat = fitted(fit)) {

  d$y <- yhat + r[i]

  fitb <- lm(y ~ x, data = d)

  -coef(fitb)[1]/coef(fitb)[2]
}, R = 1e4)
lines(quantile(sims$t, c(0.025, 0.975)), c(0, 0), col = "blue")

グラフに表示されるのは、予測の信頼帯の下限/上限が軸と交差する点です。これらは切片の信頼限界ではないと思いますが、おそらく大まかな近似です。