2つの共分散行列の合計と積も共分散行列ですか？

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共分散行列とます。これらのオプションのどれが共分散行列でもありますか？ $X$ $Y$

$X+Y$
$X^2$
$XY$

何かが共分散行列になるために正確に何が必要かを理解するのに少し問題があります。たとえば、、および場合、1がtrueになるには、 $X=\operatorname{cov}(X_1,X_2)$ $Y=\operatorname{cov}(Y_1,Y_2)$ 、ここでとは他の確率変数です。ただし、3つのオプションのいずれにも当てはまる理由がわかりません。どんな洞察も認められます。 $\operatorname{cov}(X_1,X_2) + \operatorname{cov}(Y_1,Y_2) = \operatorname{cov}(Z_1, Z_2)$ $Z_1$ $Z_2$

covariance covariance-matrix

— RBM
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バックグラウンド

確率変数のベクトルの共分散行列は、これらの確率変数の線形結合の分散を計算する手順を具体化します。ルールは、その係数のベクトルのためのものである、 $\mathbb{A}$ $X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)^\prime$ $\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

\begin{matrix} (1) & Var (λ X) = λ A λ^{'} . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.\tag{1}$

言い換えると、行列の乗算のルールは、分散のルールを表します。

2つのプロパティは即時かつ明白です。 $\mathbb{A}$

分散は二乗値の期待値であるため、負になることはありません。したがって、のためにすべてのベクターは、共分散行列は非負定でなければなりません。 $\lambda$
$0 \leq Var (λ X) = λ A λ^{'} .$ $0 \le \operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.$
差異は単なる数値です。つまり、行列式を文字どおりに読むと、行列になります。したがって、それらを転置しても変化しません。転置が得られるこれはすべてのに当てはまるので、 $1\times 1$ $(1)$
$λ A λ^{'} = Var (λ X) = Var (λ X)^{'} = {(λ A λ^{'})}^{'} = λ A^{'} λ^{'} .$ $\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime = \operatorname{Var}(\lambda X) = \operatorname{Var}(\lambda X) ^\prime = \left(\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime\right)^\prime = \lambda \mathbb{A}^\prime \lambda ^\prime.$ $\lambda$ $\mathbb{A}$ その転置と等しくなければなりません：共分散行列は対称でなければなりません。 $\mathbb{A}^\prime$

より深い結果は、任意の非負定対称行列が共分散行列であるということです。 $\mathbb{A}$ この手段があり、実際にいくつかのベクトル値確率変数であるとの共分散など。明示的に作成することで、これを示すことができます。1つの方法は、（多変量）密度関数とプロパティ $X$ $\mathbb{A}$ $X$ $f(x_1,\ldots, x_n)$

\log (f) \propto - \frac{1}{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) A^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})^{'}

$\log(f) \propto -\frac{1}{2} (x_1,\ldots,x_n)\mathbb{A}^{-1}(x_1,\ldots,x_n)^\prime$

A

$\mathbb{A}$

A

$\mathbb{A}$

ソリューション

$\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$

合計。
- $(X + Y)^{'} = X^{'} + Y^{'} = (X + Y)$ $(\mathbb{X}+\mathbb{Y})^\prime = \mathbb{X}^\prime + \mathbb{Y}^\prime = (\mathbb{X} + \mathbb{Y})$
- $\lambda$ $λ (X + Y) λ^{'} = λ X λ^{'} + λ Y λ^{'} \geq 0 + 0 = 0$ $\lambda(\mathbb{X}+\mathbb{Y})\lambda^\prime = \lambda \mathbb{X}\lambda^\prime + \lambda \mathbb{Y}\lambda^\prime \ge 0 + 0 = 0$
これは演習として残します。
$2\times 2$
$(\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix})$ $\pmatrix{a & b \\ b & a}$ $a^2 \ge b^2$ $a \ge 0$ $\mathbb{XY}$ $X = (\begin{matrix} a & - 1 \\ - 1 & a \end{matrix})$ $\mathbb{X} = \pmatrix{a & -1 \\ -1 & a}$ $a \ge 1$ $\mathbb{Y}$ $Y = (\begin{matrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $\mathbb{Y} = \pmatrix{b & 0 \\ 0 & 1}$ $b\ge 0$ $-1$ $1$
$\mathbb{XY}$ $a$ $b$

— whuber
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実数行列は、対称の正の半定値である場合に限り、共分散行列です。

ヒント：

$X$ $Y$ $X+Y$ $z^TX z \ge 0$ $z$ $z^TY z \ge 0$ $z$ $z^T(X+Y)z$

$X$ $X^2$ $X$ $X^2$

$X$ $Y$ $XY$

— マーク・L・ストーン
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