算術平均が幾何平均に非常に近い場合、データについて何を結論付けることができますか？

幾何平均と算術平均について、互いに非常に近いもの、たとえば〜0.1％に重要なものはありますか？そのようなデータセットについてどのような推測をすることができますか？

私はデータセットの分析に取り組んできましたが、皮肉なことに、値は非常に近いことがわかりました。正確ではないが、近い。また、算術平均幾何平均不等式の簡単な健全性チェックとデータ収集のレビューにより、値をどのように考え出したかという点で、データセットの整合性について怪しいものはないことが明らかになりました。

descriptive-statistics mean geometric-mean

— user12289
ソース

小さなメモ：まず、データがすべてポジティブであることを確認してください。負の値が偶数の場合、正の製品が残る可能性があり、一部のパッケージは潜在的な問題にフラグを立てない場合があります（AM-GM不等式は値がすべて正であることに依存します）。（Rで）、例えば：（算術平均は1である）x=c(-5,-5,1,2,3,10); prod(x)^(1/length(x))

$\:\quad$ [1] 3.383363

— Glen_b -Reinstateモニカ

@Glen_bの点を詳しく説明するために、データセット常に等しい算術平均と幾何平均、つまりゼロがあります。ただし、3つの値を望みどおりに広げることができます。

{- x, 0, x}

$\{-x,0,x\}$

— ハードマス

算術平均と幾何平均は同じ一般化された式を持ち、は前者を、は後者を与えます。その後、データ値がますますすべて等しくなり、定数に近づくと、2つが互いに近づいていくことが直感的に明らかになります。

p = 1

$p=1$

p \to 0

$p \rightarrow 0$

x

$x$

— ttnphns

回答:

算術平均は、算術平均幾何幾何平均（AMGM）の不等式を通じて幾何平均に関連しています。

\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}},

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n} n \geq \sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n},$

ここで、場合に等しいことが達成されます。したがって、おそらくデータポイントはすべて非常に近いものです。 $x_1=x_2=\cdots=x_n$

— アレックス・R
ソース

これは正しいです。通常、値の分散が小さいほど、2つの平均値は近くなります。

— マイケルM

分散は、観測値のサイズと比較して小さくなければなりません。したがって、小さくする必要があるのは変動係数です。

σ / μ

$\sigma/\mu$

$\qquad$

— マイケル・ハーディ

AMGMは何かを表しますか？もしそうなら、それを綴ってもらうといいでしょう。

— リチャードハーディ

@RichardHardy：AMGM「の算術平均-幾何平均」の略

@ user1108、ありがとう、実際には、他の投稿を読んだ後に得た。（コメントだけでなく）答えの中に綴ることができると思います。

— リチャードハーディ

@Alex Rの答えを詳しく説明すると、AMGMの不平等を確認する1つの方法は、ジェンセンの不平等効果です。ジェンセンの不等式により：次に、両側の指数関数を取得します：

\log (\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}) \geq \frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i}

$\log\left( \frac{1}{n} \sum_i x_i \right) \geq \frac{1}{n} \sum_i \log x_i$

\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i} \geq \exp (\frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i})

$\frac{1}{n} \sum_i x_i \geq \exp\left( \frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

以来、右側は幾何平均です。 $\left(x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)^{1/n} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

AMGMの不等式は、いつほぼ同等になりますか？ジェンセンの不等効果が小さい場合。ここでジェンセンの不平等効果を促進するのは、凹、対数の曲率です。対数に曲率がある領域にデータが分散している場合、効果は大きくなります。対数が基本的にアフィンである領域にデータが分散している場合、影響はわずかです。

たとえば、データの変動がほとんどなく、十分に小さい近傍にまとめられている場合、対数はその領域のアフィン関数のようになります（微積分のテーマは、滑らかで連続的な関数に十分にズームインすると、それは線のように見えます）。データが十分に近い場合、データの算術平均は幾何平均に近くなります。

— マシュー・ガン
ソース

レッツの範囲を調べるそれらの算術平均（AM）が小さい倍数であることを考えると（との幾何平均（GM）の）。質問では、しかし、我々は知らない。 $x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n$ $1+\delta$ $\delta \ge 0$ $\delta\approx 0.001$ $n$

測定単位を変更してもこれらの平均の比率は変わらないため、GMが単位を選択します。したがって、我々は最大にするためにシーク制約を受けると。 $1$ $x_n$ $x_1+x_2+\cdots+x_n = n(1+\delta)$ $x_1\cdot x_2\cdots x_n = 1$

これは、ことによって行われる、言うと、。かくして $x_1=x_2=\cdots=x_{n-1}=x$ $x_n=z \ge x$

n (1 + δ) = x_{1} + \dots + x_{n} = (n - 1) x + z

$n(1+\delta) = x_1 + \cdots + x_n = (n-1)x + z$

そして

1 = x_{1} \cdot x_{2} \dots x_{n} = x^{n - 1} z .

$1 = x_1\cdot x_2 \cdots x_n = x^{n-1}z.$

解間ルートでとの $x$ $0$ $1$

(1 - n) x^{n} + n (1 + δ) x^{n - 1} - 1.

$(1-n)x^n + n(1+\delta)x^{n-1} - 1.$

簡単に繰り返し見つけることができます。ここで、最適ののグラフでとの関数としてののためには、、左から右へ： $x$ $z$ $\delta$ $n=6, 20, 50, 150$

がかなりのサイズに達するとすぐに、という小さな比率であっても、1つの大きな外側の（上部の赤い曲線）および密集したグループ（下部の青い曲線）と一致します。 $n$ $1.001$ $x_n$ $x_i$

他の極端な場合、が偶数であると仮定します（簡単にするため）。半とき最小範囲が達成され、一つの値に等しくと他の半分を別の値に等しく。解決策（簡単に確認できます）は $n=2k$ $x_i$ $x \le 1$ $z \ge 1$

x^{k} = 1 + δ \pm \sqrt{δ^{2} + 2 δ} .

$x^k = 1+\delta \pm \sqrt{\delta^2 + 2\delta}.$

小さいため、我々は無視することができる近似値として、また、近似一次へのルートを与え $\delta$ $\delta^2$ $k^\text{th}$

x \approx 1 + \frac{δ - \sqrt{2 δ}}{k}; z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} .

$x \approx 1 + \frac{\delta-\sqrt{2\delta}}{k};\ z \approx 1 + \frac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k}.$

範囲は約。 $\sqrt{32\delta}/n$

この方法で、データの可能な範囲の上限と下限を取得しました。 データ量に大きく依存していることがわかりました。上限は、範囲がごく小さなでも認識できることを示しており、それにより、データポイントが実際に互いにどれだけ近くにある必要があるかという感覚が向上し、範囲にも下限が設定されています。 $n$ $\delta$

同様の分析を簡単に実行することで、分散や変動係数など、スプレッドの他の尺度に関してがどれだけ密にクラスター化されているかを定量的に知ることができます。 $x_i$

— ウーバー
ソース

右手のグラフの右側には、あなたが持っているように見える

。私は、これらの値を与えるように見えるあなたの述べた式の近似値の近くにあるかが表示されない

。おそらく私は誤解している

n = 150, δ = 0.002, x \approx 0.9954, z \approx 1.983, k = 75

$n=150, \delta=0.002, x\approx 0.9954, z \approx 1.983, k=75$

x \approx 0.99918, z \approx 1.00087

$x \approx 0.99918, z\approx 1.00087$

— ヘンリー

@ヘンリー、どうやってこれらの数字を思いついたのかわかりません。場合

、要件はその

と

。これらのどちらも、指定した値に対して真ではありません。

および

をプラグインすると、正しい値が得られます。

n = 150

$n=150$

x^{149} z = 1

$x^{149} z=1$

149 x + z = 150 (1.002) = 150.3

$149x + z=150(1.002)=150.3$

x = 0.995416

$x=0.995416$

z = 1.98308

$z=1.98308$

— whuber

私はあなたのように私には見えるもの試みた

と同様のため

。しかし今、私はこれが別の質問に答えていることがわかりました

z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} = 1 + \frac{0.002 + \sqrt{2 \times 0.002}}{75} \approx 1.00087

$z \approx 1 + \dfrac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k} = 1+\dfrac{0.002+\sqrt{2\times 0.002} }{75} \approx 1.00087$

x

$x$

— ヘンリー

@Henryこれは別の問題を解決します。これらは最小範囲を与える値です。私はそれらのグラフを投稿しませんでした。確かに、あなたと

および

我々は

および

必要に応じて、。

x

$x$

z

$z$

75 x + 75 z \approx 150.3

$75x+75z\approx 150.3$

x^{75} z^{75} \approx 1

$x^{75}z^{75}\approx 1$

— whuber