線形回帰、条件付き期待値および期待値

わかりましたので、いくつかのことで少しかすんでいます、どんな助けでも大歓迎です。線形回帰モデルが条件付き期待値を介して予測されることは私の理解です

$$E(Y|X)=b+Xb+e$$

1. とYの両方が確率変数の未知の確率変数であると想定しますか？残差と推定ベータ係数のみが確率変数であることが私の理解でした。もしそうなら、例として、Y =肥満でX =年齢の場合、条件付き期待値E （Y | X = 35 ）の意味をとると、個人がサンプル全体で35である場合、肥満の期待値はどうなるでしょうか。X = 35である観測値について、yの平均（算術平均）を取るだけです。$X$$Y$$Y =$$X =$$E(Y|X=35)$$35$$X=35$？しかし、期待値は、これに発生確率を掛ける必要があることを意味しませんか？しかし、その意味で、値変数が年齢のようなものを表す場合に発生する確率をどのように見つけるのでしょうか。$X$
2. が為替レートのようなものを表す場合、これはランダムとして分類されますか？確率を知らずに、これの期待値をどのようにして見つけますか？または、期待値がちょうど限界の平均と等しいでしょう。$X$
3. 従属変数がそれ自体確率変数であると想定しない場合、確率を無視しないため、それらは何であると想定しますか？固定値だけか何か？しかし、これが事実である場合、非ランダム変数を最初にどのように条件付けできますか？独立変数の分布について何を仮定しますか？

何かが意味をなさないか、誰にでも明らかな場合は申し訳ありません。

線形回帰の基礎となる確率モデルでは、XとY は確率変数です。

もしそうなら、例として、Y =肥満でX =年齢の場合、条件付き期待値E（Y | X = 35）の意味を考えると、サンプル全体で個人が35である場合、肥満であると予想される値はどうでしょうか。 X = 35の観測値について、yの平均（算術平均）を取るだけですか？

そのとおり。一般に、Xの特定の値ごとに十分なデータがあることは期待できません。または、Xが連続した値の範囲を取ることができる場合は、そうすることが不可能である可能性があります。しかし、概念的には、これは正しいです。

しかし、期待値は、これに発生確率を掛ける必要があることを意味しませんか？

$E[Y]$$E[Y \mid X = x]$

$$E[Y] = \sum_x E[Y \mid X = x] Pr[X = x]$$

これは完全な期待の法則です。

しかし、その意味で、X値変数が年齢などを表す場合に発生する確率をどのように見つけるのでしょうか。

$E[Y \mid X]$$Pr[X = x]$

独立変数自体が確率変数であると想定しない場合、確率を無視しないため、それらは何であると想定しますか？固定値だけか何か？

我々はない Yは確率変数であることを前提としています。線形回帰について考える1つの方法は、確率モデルとして$Y$

$$Y \sim X \beta + N(0, \sigma)$$

$N(0, \sigma)$

この質問に対する回答はたくさんありますが、いくつか興味深い点を挙げたので、まだ追加したいと思います。簡単にするために、私は単純な線形モデルのみを考慮します。

   It is my understanding that the linear regression model
   is predicted via a conditional expectation E(Y|X)=b+Xb+e

$$\mathbb E(Y\,|\,X) = \beta_0 +\beta_1X,$$ $Y$$X$$\beta_0$$\beta_1$ $$Y = \beta_0+\beta_1X+\epsilon,$$ $\epsilon$$\mathbb E(\epsilon) = 0$

Do we assume that both X and Y are Random variables with some unknown 
probability distribution? ... If we don't assume the independent variables 
are themselves random 

$X$$Y$

$\{X_1,...,X_n\}$$X$

$\beta_0$$\beta_1$$X$$X$

if we take the conditional expectation E(Y|X=35) ... would we just take 
the average(arithmetic mean) of y for those observations where X=35?

$\hat\varphi(x)$$\mathbb E(Y|X = x)$$\hat \beta_0$$\hat \beta_1$

$$\hat\varphi(x) = \hat\beta_0+\hat\beta_1x$$
条件付き平均最小二乗推定量は、モデルが異なる重みを単一因子のレベルとして扱う場合、記述したものと等しい式になります。これらのモデルは一元配置分散分析とも呼ばれ、（単純ではない）線形モデルの特定のケースです。