ビン化されたデータを使用した指数分布のパラメーターの推定

指数分布でモデル化できる次のデータがあります

Time        0-20  20-40    40-60  60-90   90-120    120-inf
Frequency   41     19       16      13        9        2

データが指数分布に従うかどうかをテストするために、カイ2乗検定統計量を使用します。しかし、このためにラムダも計算する必要があります（）。$MLE = \frac{1}{\bar X}$

したがって、私の質問は、最後の間隔が120から無限大の場合、間隔の中間点をどのように選択すればよいですか。

私はそれらの間隔のいずれにも中点を使用しません（おそらく、いくつかの反復手順の初期推定として期待します）。

データが本当に指数分布からのものである場合、各ビン内の値は正しいスキューでなければなりません。平均は、ビンの境界の平均から離れると予想されます。

すべてのデータがある場合は、式が適していることに注意してください。ビン化されたデータでは、ビン化された（つまり、区間打ち切り）指数の可能性を最大化する必要があります。$\hat{\lambda}=\frac{1}{\bar{X}}$

尤度ログインする[寄与ビンに観察を -との間のものと$n_i$$i$$l_i$$u_i$ -です $n_i \log(F(l_i)-F(u_i))$（の2つの項は、分布のパラメーターの関数です）。]$F$

あなたは、指数の平均のための良好な近似値を持っている場合ので、指数のメモリー性の不足のため、あなたはまた、いくつかの値以上の分布の平均した量の良い近似してい超え。$x_0$$x_0$

したがって（私が提案したように、区間打ち切りデータの尤度*を直接最大化しないと仮定すると）、平均の概算（と言う）から始めて、アッパーテールの「中心」として。$m^{(0)}$$120+m^{(0)}$

次に、これを使用して、パラメーター（および平均）のより良い推定を取得し、上位のビンを含む各ビンの条件付き平均の改善された推定を取得できます。[このようなアプローチが必要な場合は、EMを直接行うことに傾倒するかもしれません。]

平均のいくつかの単純な推定値をすばやく取得できます。たとえば、41％の値が20未満で発生するため、平均値の推定値に対応するに。または、中央値（30未満、おそらく約28）の目で見た目で簡単に推定できるため、平均値は近く、または約なるはずです。$\exp(-\frac{20}{\hat{\lambda}^{(0)}})=1-0.41$$38$$28/\log(2)$$40$

これらのいずれも、最後のビンの条件付き平均の推定値を配置するために120をどれだけ超えるかを初期推定値として使用するのが妥当です。

*可能性を最大化する代わりに、カイ2乗統計量を最小化します。その場合、dfへの同じ調整が使用されます。カイ2乗統計量は比較的簡単に計算でき、単一のパラメーターを最適化するのは非常に簡単です。

理論的な観点から、取得したサンプルの可能性は次のように記述されます。

$$\mathcal L(\lambda \mid \boldsymbol x) = \prod_{j=1}^m (e^{-\lambda x_{j-1}} - e^{-\lambda x_{j}})^{n_j},$$ どこ $(x_0, x_1, \ldots, x_m)$ ビンの境界です（各ビンが観察の確率を表すと仮定） $x_{j-1} < X \le x_j$）、および $n_j$ ビン内の観測数です $j$。ここにあります$m = 6$ ビン、 $(x_0, x_1, \ldots, x_m) = (0, 20, 40, 60, 90, 120, \infty)$、および $(n_1, \ldots, n_m) = (41, 19, 16, 13, 9, 2)$。一般に、この式の対数尤度を最大化するには、数値的なアプローチが必要です。Mathematicaを使って、対数尤度の導関数を $$\frac{\partial \ell}{\partial \lambda} = \frac{760}{\sinh 10 \lambda +\sinh 20 \lambda} + 1090 \coth 15 \lambda - 3940.$$ これにより数値解が得られます $$\hat\lambda \approx 0.025562426096803193.$$

閉じた形式の単純な見積もりに興味がある場合は、UWSE（Unique Weight Space Estimator）が役立ちます。特に、$\ \hat{w_{[0,20]}}\ $ 間隔内の観測の相対頻度 $\ [0,20] \ $、次に：

$$\ \hat{\lambda_{UWSE}} = -\frac{ln(1-\hat{w_{[0,20]}})}{20} \ $$

この場合、 $\ \hat{w_{[0,20]}} = 0.41\ $ 、 それゆえ、

$$\ \hat{\lambda_{UWSE}} = 0.02638164 \ $$

ただし、UWSEについて言えることは、それが一貫した推定値であるということだけです。ここに、推定器の完全な説明へのリンクがあります：https : //paradsp.wordpress.com/-一番下までスクロールします。