ハザード率の背後にある直感

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ハザード率の定義として役立つ方程式について混乱しています。ハザードレートが何であるかはわかりますが、方程式がその直観をどのように表現しているかはわかりません。

が時間間隔での誰かの死の時点を表すランダム変数である場合。次に、危険率は次のとおりです。 $x$ $[0,T]$

h （ バツ ） = \frac{f （ バツ ）}{1 - F （ バツ ）}

$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$

ここで、時点まで死の確率を表し、時点まで生存した確率を表し、及びは、ポイントでの死亡の確率です。 $F(x)$ $x\in[0,T]$
$1-F(x)$ $x\in[0,T]$
$f(x)$ $x$

を生存率で除算すると、次のにおける瞬間的な死の確率の直感をどのように説明できますか？ハザード率の計算を簡単にするだけではいけませんか？ $f(x)$ $\Delta t$ $f(x)$

survival intuition hazard

— user246315
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ましょ $X$ （あなたがあまり病的な説明を好む場合や、障害発生時）死の時間を表します。 $X$ が密度関数がのみ非ゼロである連続ランダム変数であると仮定します。いることを今、注目しなければならないという場合がに離れて減衰するとして場合ので、その後、崩壊離れ述べたようにしない $f(t)$ $(0,\infty)$ $f(t)$ $0$ $t \to \infty$ $f(t)$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$ は成り立たない。ことをこのように、あなたの概念 $f(T)$ 一度に死亡する確率である $T$ （実際には、それは $f(T)\Delta t$ である（約）で死亡する確率短い間隔 $(T, T+\Delta t]$ の長さ $\Delta t$ ）のような信じ難いと信じられない結論につながります

98歳のときよりも30歳のときの方が来月に死亡する可能性が高くなります。

がときはいつでも。 $f(t)$ $f(30) > f(98)$

理由は（または）の値ということであるを見て、「間違っている」可能性があるだけしている人に興味のある生きている時代で精神的にまだ（と定期的にstats.SEを読むのに十分なアラート！）注目すべきなのは、次の月内に歳が死亡する確率です。つまり、 $f(T)$ $f(T)\Delta t$ $f(T)$ $T$ $T$

$\begin{aligned} P {(X \in (T, T + Δ t] ∣ X \geq T} & = \frac{P {(X \in (T, T + Δ t] ） \cap （バツ \geq T ）}}{P {バツ \geq T}} \\ 条件付き確率の定義 \\ = \frac{P {バツ \in （ T 、 T + △ t]}}{P {バツ \geq T}} \\ = \frac{f （ T ） △ t}{1 - F （ T ）} \\ なぜならバツ連続rvです \end{aligned}$ $\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$

選択我々はその結論に達しなどの二週間、週、日、時、分、なるように（瞬時）ハザード率のための古いです-year $\Delta t$ $T$

$h （ T ） = \frac{f （ T ）}{1 - F （ T ）}$ $h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$

意味で、おおよそ次のフェムト秒で死亡する確率の古い年間のです $(\Delta t)$ $T$ $\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

なお、密度は対照的にまでの積分、積分 $f(t)$ $1$ は分岐する必要があります。これは、CDFがハザード率に関連しているためです $\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

と以来、それでなければならない

F (t) = 1 - \exp (- \int_{0}^{t} h (τ) d τ)

$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$

lim_{t \to \infty} F (t) = 1

$\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$

またはより正式に述べた、ハザード率の積分がなければなりません発散する：何が存在しない可能性のある前の編集は記載の発散は。

\underset{t \to \infty}{リム} \int_{0}^{t} h （ τ ） d τ = \infty 、

$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$

典型的なハザード率は時間の関数の増加ですが、一定のハザード率（指数関数的寿命）が可能です。これらの種類のハザード率には、明らかに発散した積分があります。それほど一般的ではないシナリオ（上質なワインのように、物事は年齢とともに改善すると信じる人にとって）は、時間とともに減少するが、積分が発散するほど十分に遅いハザード率です。

— ディリップ・サルワテ
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「あなたはそれほど病的な説明を好む場合レッツXは死（または失敗の時間の時間を表す」時間を回復はさらに少ない病的になるまで。。

— ryu576

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あなたが男性の（最初の）結婚の発生率に興味があると想像してください。たとえば、20歳での結婚の発生率を調べるには、その年齢で結婚していない人のサンプルを選択し、翌年（21歳になる前）に結婚するかどうかを確認します。

大まかな見積もりを得ることができます

P （ m a r r y b e f o r e 21 | n o t m a r r 私 e d a t 20 ）

$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$

\frac{N （ m a r r 私 e d b e f o r e 21 a n d n o t m a r r 私 e d a t 20 ）}{N （ n o t m a r r 私 e d a t 20 ）}

$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$

P （ バツ | Y ） = \frac{P （ バツ 、 Y ）}{P （ Y ）} 。

$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$

T

$T$

P （ T \leq 7301 ） | T \geq 7300 ） = \frac{P （ T \in [7300 、 7301 ） ）}{P （ T \geq 7300 ）}

$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$

$t$

h （ t ） d t = P （ T \in [t 、 t + d t ） | T \geq t ） = \frac{P （ T \in [t 、 t + d t ） ）}{P （ T \geq t ）}

$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$

— テオドール
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$f(x)$

$1-F(t)$ $t$

— マールテン・ブイ
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