OLSの厳密な外因性条件は、実際にはどういう意味ですか？

林の計量経済学では、古典的なOLSの仮定の1つは次のとおりであると述べられています：そして、すべてのに対しての影響があり、エラー項がリグレッサと無相関であることを知っています。

\begin{matrix} (1) & E (ϵ_{i} | x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 0, for i = 1, \dots, n . \end{matrix}

$\mathbb{E}(\epsilon_i\lvert\mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \ldots, \mathbf{x_n}) = 0 \text{, for } i=1, \ldots, n. \tag{1}$

E (ϵ_{i}) = 0

$\mathbb{E}(\epsilon_i) = 0$

i = 1, \dots, n

$i = 1, \ldots,n$

しかし、式（1）自体は実際にはどういう意味ですか？教育的な例が役立つでしょう。

regression econometrics least-squares

— ハンス
ソース

英語では、データを観察することを条件として、エラー項の期待値はゼロです。

これはどのように違反されますか？

例：相関する省略された変数 $x$

真のモデルは次のとおりです

y_{i} = α + β x_{i} + γ z_{i} + u_{i}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma z_i + u_i$

しかし、代わりに回帰を実行していると想像してください：

y_{i} = α + β x_{i} + \underset{γ z_{i} + u_{i}}{\underset{⏟}{ϵ_{i}}}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \underbrace{\epsilon_i}_{\gamma z_i + u_i}$

次に：

\begin{aligned} E [ϵ_{i} ∣ x_{i}] & = E [γ z_{i} + u_{i} ∣ x_{i}] \\ = γ E [z_{i} ∣ x_{i}] assuming u_{i} is white noise \end{aligned}

$\begin{align*} E[\epsilon_i \mid x_i ] &= E[\gamma z_i + u_i \mid x_i] \\ &=\gamma E[ z_i\mid x_i] \quad \text{ assuming $u_i$ is white noise} \end{align*}$

もしと、その後、と厳格な外生性が破られます。 $E[z_i \mid x_i] \neq 0$ $\gamma \neq 0$ $E[\epsilon_i \mid x_i] \neq 0$

たとえば、が賃金であり、が大学の学位を示す指標であり、が何らかの能力の尺度であるとします。賃金が教育と能力の両方の関数である場合（真のデータ生成プロセスは最初の方程式です）、大学の卒業生はより高い能力（）を期待されますより高い能力の学生を認めるなら、教育の賃金の単純な回帰を実行すると、厳密な外因性の仮定に違反することになります。古典的な交絡変数があります。能力は教育を引き起こし、能力は賃金に影響を与えるため、教育が与えられた場合の方程式（2）の誤差に対する私たちの期待はゼロではありません。 $y$ $x$ $z$ $E[z_i \mid x_i] \neq 0]$

回帰を実行するとどうなりますか？教育係数では、教育効果と能力効果の両方をピックアップします。例えばリニアこの単純では、推定された係数効果拾うことになる上のプラスの関連と倍の効果に。 $b$ $x$ $y$ $x$ $z$ $z$ $y$

— マシューガン
ソース

こんにちはマシュー、最後から2番目の段落では、「より有能な個人は大学の学位を取得する可能性が高い」と考えています考える

E (z_{i} | x_{i})

$E(z_i|x_i)$ ではなく

E (x_{i} | z_{i})

$E(x_i|z_i)$ 。

— ミッチベイカー

@MitchBakerコメントをありがとう。確かに

E [z | x]

$E[z|x]$ 最も直接的に問題となっています。やや明確にしてみました。

— Matthew Gunn

OLSの厳密な外因性条件は、実際にはどういう意味ですか？

例：相関する省略された変数xxx

例：相関する省略された変数 $x$