分散は標準偏差よりも基本的な概念ですか？

で、このpsychometricsのウェブサイト私はそれを読んで

[A] ta深いレベルの分散は、標準偏差よりも基本的な概念です。

このサイトでは、分散が標準偏差よりも基本的である理由を実際に詳しく説明していませんが、このサイトで似たようなことを読んだことを思い出しました。

たとえば、このコメントで @ kjetil-b-halvorsenは「標準偏差は解釈、報告に適しています。理論を発展させるには分散が優れている」と書いています。

これらの主張は関連しているように感じますが、実際には理解していません。サンプル分散の平方根は母標準偏差の不偏推定量ではないことを理解していますが、確かにそれ以上のものがあるはずです。

「基本」という用語は、このサイトでは曖昧すぎるかもしれません。その場合、おそらく、統計理論を開発する観点から、分散が標準偏差よりも重要であるかどうかを質問するという私の質問を実用化することができます。なぜ/なぜないのか？

ロバートとベイの答えは物語の一部を与えます（つまり、モーメントは分布の基本的な特性と見なされる傾向があり、従来の標準偏差は、その逆ではなく、2番目の中心モーメントに関して定義されます）物事は本当に基本的なもので、用語の意味に一部依存しています。

私たちの規則は、他の道を行けば何も克服できない問題はないだろう、例えば、 -私たちは、従来の通常の瞬間の代わりに大量のいくつかの他のシーケンスを定義止めるものは何もありません、と言う以下のためのp = 1 、2 、3 、。。。（$E[(X-\mu)^p]^{1/p}$$p=1,2,3,...$$\mu$はモーメントシーケンスと最初の項としてのこのシーケンスの両方に当てはまります）、その後、モーメントと、モーメントに関連するあらゆる計算方法を定義します。これらの量はすべて元の単位で測定されることに注意してください。これはモーメント（元の単位の乗であり、解釈が難しい）よりも1つの利点です。これにより、母集団の標準偏差は、定義された量とその点で定義された分散になります。$p$

ただし、モーメント生成関数（または上記で定義された新しい量に関連する同等物）のような量を「自然」ではなく、少し厄介なものにします（ただし、一部の規則は少し似ています）。MGFには便利なプロパティがいくつかありますが、それは逆に便利なキャストではありません。

もっと私の心に、基本的な（しかし、それに関連する）、数があることである分散の基本的な性質の独立の和の例えば分散（標準偏差のプロパティとして書かれたときよりも、分散のプロパティとして書かれた際、より便利ですランダム変数は分散の合計です）。

この相加性は、分散の他の測定値とは共有されないプロパティであり、多くの重要な結果をもたらします。

[他にもキュムラントとの間で同様の関係があるので、これは私たちがより一般的な瞬間に関連して、物事を定義する可能性のある感覚。]

これらの理由はすべて間違いなく慣例または利便性のいずれかですが、ある程度は視点の問題です（たとえば、ある観点からは瞬間は非常に重要な量であり、他の観点からはそれほど重要ではありません）。「深いレベルで」ビットは、kjetilの「理論を開発するとき」にすぎないことを暗示することを意図しているのかもしれません。

あなたが質問で提起したkjetilのポイントに同意します。ある程度まで、この答えは、単にそれを手で議論するだけです。

分散は、分布の最初と2番目のモーメントによって定義されます。対照的に、標準偏差は瞬間よりも「規範」に似ています。モーメントは分布の基本的な特性ですが、ノルムは区別するための単なる方法です。

標準偏差は「分散の平方根」として定義されるため、分散は標準偏差よりも基本的です。たとえば、定義は完全に分散に依存します。

一方、分散は「完全に独立して」「サンプルと平均値の差の二乗の期待値」として定義されます。

$n$$X$$\mathrm{Var}[X] = \sigma^2$$S^2$$\sigma^2$$S$$\sigma$