離散変数と連続ランダム変数の合計は連続ですか、それとも混合ですか？

場合離散的であると連続確率変数である我々はの分布について何を言うことができる？連続ですか、それとも混合ですか？$X$$Y$$X+Y$

製品はどうですか？$XY$

仮定$X$値前提$k \in K$離散分布$(p_k)_{k \in K}$、ここで$K$可算集合であり、そして$Y$の値をとる$\mathbb R$密度$f_Y$およびCDF $F_Y$。

してみましょう。我々は P（Z ≤ Z ）= P（X + Y ≤ Z ）= Σ K ∈ K P（Y ≤ Z - X | X = K ）P（X = K ）= Σ K ∈ K F Y（Zが- k ）p k$Z = X + Y$

$$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$$ これをするための密度関数を得るために分化させることができるによって与えられる F Z（Z ）= Σ K ∈ K F Y（Z - K ）のp K$Z$ $$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$$

次に、とし、p 0 = 0と仮定します。次いで、 P（R ≤ R ）= P（X Y ≤ R ）= Σ K ∈ K P（Y ≤ R / X ）P（X = K ）= Σ K ∈ K F Y（R / K ）PのK$R = X Y$$p_0 = 0$

$$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$$ これも密度関数を得るために区別できます。

$p_0 > 0$$\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$$XY$

$X$$p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$$\mathcal{X}$$X$

$$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$$

$\delta$

$Y$$Z := X+Y$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$Z$$f_X$$f_Y$

$$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$$

$X$$Y$

編集：「継続的」とは「pdfを持っている」ことを意味すると想定しています。連続が代わりに無原子を意味することを意図している場合、証明は同様です。以下の「ルベーグのヌルセット」を「シングルトンセット」に置き換えるだけです。

---

$X$$\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$$P(Z\in E)=0$$E$

$\square$

$X+Y$$E$

$$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$$ $Y+x_k\in E$$Y\in E-x_k$$E-x_k$$Y$$P(Y+x_k\in E)=0$$X+Y$

$P(X=0)=0$$P(X=0)=1$$XY$$P(XY=0)=1$$XY$