相互作用項をロジスティック回帰モデルに含めると、線形性の仮定を評価するのに役立つのはなぜですか？

でSPSS使って発見統計アンディ・フィールドで第4版を、それが独立変数間の相互作用の項含めることをお勧めしとそれに対応する自然対数変換直線性の仮定の違反をチェックするための変数を。この背後にある統計理論は何ですか？$x$$\ln(x)$

これは本からの引用：

この仮定は、予測子とその対数変換の間の交互作用項が有意であるかどうかを調べることによってテストできます（Hosmer＆Lemeshow、1989）。

最近、この変換がBox-Tidwell変換と呼ばれていることもわかりました。

Box and Tidwell（1962）[1]は、個々の予測子（IV）の変換を推定するためのやや一般的なアプローチを示し、予測子変数（その累乗0を含む）の累乗変換を推定する特定のケースを処理します。 -ログを制限ケースとして取得することに対応します）。

パワー変換の特定のケースでは、リグレッションへの接続があることが。$X_j\log(X_j)$

したがって、と間の真の（条件付き）関係が線形であるような非線形性がある場合、これを使用してを確認するか、実際に値を推定できます。$Y$$X_j$$X_j^{\alpha_j}$$\alpha_j\neq 1$$\alpha$

具体的には、および回帰する場合、第2項の係数を第1項の係数で割ると、概算になります。（この推定は収束するまで繰り返すことができます。）$X_j$$X_j\log(X_j)$$\alpha_j-1$

推定されたが1に近い場合、変換する必要があることを示す兆候はほとんどありません。$\alpha_j$

製品の2つの項はどちらも関数である、これは単に変換されたなので、その相互作用を呼び出さないことに注意してください。それは単なる変換された予測子です。（確かに、どうにかそうしたくても、が予測子として含まれていないので、 その2番目の項を相互作用として説明することはあまりありません。）$X_j\log(X_j)$$X_j$$X_j$$\log(X_j)$

[1]：Box、GEPおよびTidwell、PW（1962）、「独立変数の変換」。Technometrics 4、531から550まで。