n iid正規変数の最大比率の期待値

がからのiidであり、がから番目に小さい要素を示すと仮定します。 2つの連続する要素間の比率の予想される最大値をどのように上限にできるでしょうか？つまり、次の上限をどのように計算できますか。 $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

私が見つけることができた文献は、主に2つの確率変数間の比率に焦点を当てています。その結果、2つの無相関正規分布のpdfがここに示されています。https：//en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution＃Gaussian_ratio_distribution。これにより、 $n$ 変数の期待される平均比率を上限にできるようになりますが、この概念を一般化して $n$ 変数の期待される最大比率を見つける方法はわかりません。

— マックス
ソース

whuberが以下に述べたように、2つの連続した注文統計の比率の期待値は収束しません。しかし、そうした場合、またはそれらの違いに興味がある場合は、

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$ ...問題は実際には、2つの最大次数統計の比率（または場合によっては差）、つまり

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$ ...ノーマルテールの形状から。

— wolfies '06 / 06/17

期待は未定義です。

ましょうに従ってIIDである任意の分布以下の特性を有する：正数存在正ように $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

すべて。この特性は、、密度がで非ゼロである、正規分布などの任意の連続分布に当てはまります。について、と間の任意の固定値を取ります。 $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

分析を簡単にするために、およびも想定します。これらは両方ともすべての正規分布に当てはまります。（後者は、必要に応じてを再スケーリングすることによって保証できます。前者は、確率を単純に過小評価するためにのみ使用されます。） $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

してみましょうと、私たちのように比率の生存関数を過大評価しましょう $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

後者の確率は、正確に可能性であるの超える間隔で正確に一つの嘘、、残りの（もしあれば）正の値である。の点で機会が与えられること多項式による $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

場合、不等式下部に比例し、このため結合を提供ことを示し、 $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

の生存関数は、として漸近的に振る舞うテールを持っています：つまり、正の数の場合。 $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

定義により、確率変数の期待値は、その正の部分の期待値とその負の部分の期待値です。以来、それが存在する場合- -期待の正の部分生存関数の積分である（からに）と $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

の期待値のプラス部分は発散します。 $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

変数適用される同じ引数は、期待値の負の部分が発散していることを示しています。したがって、比率の期待値は無限ではなく、未定義です。 $-X_i$

— whuber
ソース

+1私は自分で「単純な」ケースを試してみて、期待値を評価してみたところ、同じ結論に達しました。期待値積分は収束しないということです。おそらくOPは、比率ではなく差異など、別の形式で質問を再キャストします

n = 3

$n = 3$

— wolfies