ポアソンパラメーターの不偏推定量

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1日あたりの事故の数は、パラメーター持つポアソン確率変数であり、ランダムに選択された10日に、事故の数が1,0,1,1,2,0,2,0,0,1として観測されました。公平な推定者になりますか？ $\lambda$ $e^{\lambda}$

私はこのようにしてみました：であることがわかりが、です。それでは、必要な不偏推定量は何でしょうか？ $E(\bar{x})=\lambda=0.8$ $E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

self-study estimation poisson-distribution

— プリヤンカ
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もし、次いで、、。計算が難しい $X\sim \text{Pois}(\lambda)$ $P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$ $k\geq 0$

E [X^{n}] = \sum_{k \geq 0} k^{n} P (X = k),

$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$ が、ある計算がはるかに容易である、：これは証明できます自分で-それは簡単な練習です。また、私はあなたに次のことを自分で証明させます：がとして場合、、したがってレッツ。その結果、

E [X^{\underline{n}}]

$E[X^{\underline{n}}]$

X^{\underline{n}} = X (X - 1) \dots (X - n + 1)

$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$

E [X^{\underline{n}}] = λ^{n} .

$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$

X_{1}, \dots, X_{N}

$X_1,\cdots, X_N$

Pois (λ)

$\text{Pois}(\lambda)$

U = \sum_{i} X_{i} \sim Pois (N λ)

$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$

E [U^{\underline{n}}] = (N λ)^{n} = N^{n} λ^{n} and E [U^{\underline{n}} / N^{n}] = λ^{n} .

$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$

Z_{n} = U^{\underline{n}} / N^{n}

$Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

$Z_n$ は測定値の関数、、 $X_1$ $\dots$ $X_N$
$E[Z_n] = \lambda^n$ 、

以降、私たちはそれを推定することができます $e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

E [\sum_{n \geq 0} \frac{Z_{n}}{n!}] = \sum_{n \geq 0} \frac{λ^{n}}{n!} = e^{λ},

$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$ したがって、不偏推定量はつまり、です。ただし、を計算するには、無限と思われる合計を評価する必要がありますが、であるため、であることに注意してください。その次のために、したがって和が有限です。

W = \sum_{n \geq 0} Z_{n} / n!

$W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$

E [W] = e^{λ}

$E[W] = e^\lambda$

W

$W$

U \in N_{0}

$U\in \mathbb{N}_0$

U^{\underline{n}} = 0

$U^\underline{n} = 0$

n > U

$n>U$

Z_{n} = 0

$Z_n = 0$

n > U

$n>U$

この方法を使用すると、として表すことができる任意の関数の不偏推定量を見つけることができます。 $\lambda$ $f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

— アントワーヌ
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これは、以下のこと。を推定します。あなたが言うように、可能な推定量はモーメント生成関数を使用して、は、なので、はバイアスされます。推測によると、 $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$ $\theta=e^\lambda$

\hat{θ} = e^{\bar{X}} = e^{Y / 10} .

$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$

Y

$Y$

M_{Y} (t) = e^{10 λ (e^{t} - 1)},

$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$

E (\hat{θ}) = E (e^{\frac{1}{10} Y}) = M_{Y} (\frac{1}{10}) = e^{10 λ (e^{1 / 10} - 1)} = θ^{10 (e^{1 / 10} - 1)},

$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$

\hat{θ}

$\hat\theta$

θ^{*} = e^{a Y},

$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$ 補正係数を適切に選択するために、偏りがない場合があります。再び、のMGF用いて我々はそれが見つけ場合には、このように公平であるのリードとは不偏推定量です。

a

$a$

Y

$Y$

E (θ^{*}) = e^{10 λ (e^{a} - 1)} = θ^{10 (e^{a} - 1)},

$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$

10 (e^{a} - 1) = 1

$10(e^a - 1) = 1$

a = \ln \frac{11}{10}

$a=\ln\frac{11}{10}$

θ^{*} = (\frac{11}{10})^{Y}

$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$

θ = e^{λ}

$\theta=e^\lambda$

レーマン・シェッフェの定理から、のために十分統計量である、推定（の関数）あるUMVUEための。 $Y$ $\lambda$ $\theta^*$ $Y$ $e^\lambda$

— ジャール・タフト
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