対応のないt検定の最小サンプルサイズ

t検定を有効にするために必要な最小サンプルサイズを決定する「ルール」はありますか？

たとえば、2つの母集団の平均間で比較を実行する必要があります。一方の母集団には7つのデータポイントがあり、もう一方の母集団には2つのデータポイントしかありません。残念ながら、実験は非常に高価で時間がかかり、より多くのデータを取得することは現実的ではありません。

T検定を使用できますか？なぜですか？詳細を入力してください（母集団の分散と分布は不明です）。T検定を使用できない場合、ノンパラメトリック検定（Mann Whitney）を使用できますか？なぜですか？

ここでは、対応のないt 検定ではなく、ノンパラメトリックMann-Whitney U検定を使用することをお勧めします。

t検定には絶対的な最小サンプルサイズはありませんが、サンプルサイズが小さくなると、テストは両方のサンプルが正規分布の母集団から抽出されるという仮定により敏感になります。このように小さなサンプル、特に2つだけのサンプルでは、​​母集団の分布が正常であることを非常に確実にする必要があります。正規分布またはその他の分布。しかし、あなたは「母集団の分散と分布は知られていない」と言っています（私の斜体）。

Mann-Whitney U検定は、分布のパラメトリック形式に関する仮定を必要とせず、2つのグループの分布が帰無仮説の下で同じであるという仮定のみを必要とします。

（免責事項：今日はうまくタイプできません：右手が骨折しています！）

他の回答でノンパラメトリックテストを使用するというアドバイスとは反対に、サンプルサイズが非常に小さい場合、これらの方法はあまり有用ではないことを考慮する必要があります。理由は簡単に理解できます。極端に小さなサイズの研究では、大きな効果サイズが観察されない限り、グループ間の違いは確立できません。ただし、ノンパラメトリック法では、グループ間の差の大きさは考慮されません。したがって、たとえ2つのグループの差が大きくても、サンプルサイズが小さい場合、ノンパラメトリック検定は常に帰無仮説を棄却できません。

この例を考えてみましょう：2つのグループ、正規分布、同じ分散。グループ1：平均1.0、7サンプル。グループ2：平均5、2サンプル。平均値には大きな違いがあります。

wilcox.test(rnorm(7, 1), rnorm(2, 5))

   Wilcoxon rank sum test

data:  rnorm(7, 1) and rnorm(2, 5)
W = 0, p-value = 0.05556

計算されたp値は0.05556であり、帰無仮説を棄却しません（0.05）。これで、2つの平均間の距離を10倍に増やしても、同じp値が得られます。

wilcox.test(rnorm(7, 1), rnorm(2, 50))

   Wilcoxon rank sum test

data:  rnorm(7, 1) and rnorm(2, 50)
W = 0, p-value = 0.05556

ここで、t検定で同じシミュレーションを繰り返し、大きな差（平均5対1）と大きな差（平均50対1）の場合のp値を観察することをお勧めします。

t検定の最小サンプルサイズはありません。実際、t検定は小さなサンプル用に設計されています。テーブルが印刷された昔は、非常に小さなサンプル（dfで測定）のt検定テーブルを見ていました。

もちろん、他のテストと同様に、小さなサンプルが存在する場合、統計的に有意な影響は非常に大きくなります。

1つのグループから7つのデータポイント、2つ目のグループから2つのデータポイントがあり、どちらも母集団のサブセット（たとえば、男性のサブセットと女性のサブセット）であると仮定します。

t検定の数学は、このウィキペディアのページから入手できます。サンプルサイズが等しく（7対2）、分散が等しくない独立した2サンプルt検定を想定しているため、そのページの半分ほど下にあります。計算は平均と標準偏差に基づいていることがわかります。1つのグループに7人の被験者がいて、別のグループに2人の被験者がいるだけで、平均または標準偏差のいずれかの適切な推定値があると仮定することはできません。2人の被験者のグループの場合、平均は単に2つのデータポイントのちょうど真ん中にある値であるため、十分に推定されていません。7人の被験者がいるグループの場合、サンプルサイズが小さいほどサンプルのサイズが大きくなるため、サンプルサイズは分散（および分散の平方根である標準偏差）に大きく影響します。

たとえば、Wikipediaページの標準偏差の基本的な例を見ると、標準偏差は2であるため、分散（標準偏差の2乗）は4です。ただし、最初の2つのデータポイントしかなかった場合（9と1）、分散は10/2 = 5になり、標準偏差は2.2になります。最後の2つの値（4と16）しかなかった場合、分散は20/2 = 10になります標準偏差は3.2になります。まだ同じ値を使用していますが、それらの数は少ないため、推定値への影響を確認できます。

これは、サンプルサイズが小さい推論統計を使用する場合の問題です。結果は、サンプリングによって特に強く影響を受けます。

更新：主題ごとに結果を単に報告できず、これが探索的作業であることを示すことができない理由はありますか？ケースが2つしかない場合、データはケーススタディに非常に似ており、これらは両方とも（1）書き上げることが重要であり、（2）受け入れられている実践です。

興味深い関連記事：「学生のt検定を非常に小さいsamlpeサイズで使用する」JCF de Winter（実践的評価、研究および評価）http://goo.gl/ZAUmGW

t検定とMann-Whitney検定の両方で得られた結論を比較し、箱ひげ図と各母集団の平均のプロファイル尤度を調べることをお勧めします。

小さなサンプルで実行されるttestは、おそらくttest要件（主に、2つのサンプルが抽出された母集団の正常性）を満たさないため、エフロンBに続いて、ブートストラップttest（不等分散）を実行することを推奨します。チブシラニRj。ブートストラップの紹介。フロリダ州ボカラトン：Chapman＆Hall / CRC、1993：220-224。Stata 13 / SEのJohnny Puzzledによって提供されたデータのブートストラップttestのコードは、上の画像で報告されています。

サンプルサイズが2の場合、統計分析に煩わされることなく、個々の数値自体を確認するのが最善の方法です。