コインフリップの結果を正しく推測する可能性を最大化するには、常に最も可能性の高い結果を選択する必要がありますか？

これは宿題ではありません。この単純な統計の問題で私のロジックが正しいかどうかを理解することに興味があります。

頭をひっくり返す確率が $P(H)$ で、尾をひっくり返す確率が両面コインがあるとし $1-P(H)$ ます。すべてのフリップに独立した確率があると仮定しましょう。さて、次のフリップでコインが頭か尾かを予測するチャンスを最大限にしたいとしましょう。場合 $P(H) = 0.5$ 、Iがランダムにヘッド又はテールを推測することができ、私は正しいことの確率である $0.5$ 。

さて、と仮定し、正しく推測する可能性を最大限にしたい場合、確率がであるテールを常に推測する必要がありますか？ $P(H) = 0.2$ $0.8$

これをさらに一歩進めて、3面ダイスがあり、1、2、または3を振る確率が、、および、正しく推測する可能性を最大にするために、常に2を推測する必要がありますか？もっと正確に推測できる別のアプローチはありますか？ $P(1)=0.1$ $P(2)=0.5$ $P(3)=0.4$

probability

— カメ
ソース

あなたは独立について尋ねているように聞こえます：例えば、一度頭を手に入れたら、それは次回に「尾」をより可能にしますか？これがあなたが求めているものではない場合、あなたの質問を明確にできますか（私が正しくあなたの質問を理解している場合、答えは「イエス」です。状況にコインが最も可能性の高い結果が常にかかわらず、以前に起こったことの、最も確率の高い結果になります投げるように）

— アルボウイルス

@arboviralのヘルプに感謝します。はい、私は独立を前提としています。これを示すために質問を更新しました。

— カメ

独立性を考えてできる最善のことは、最も可能性の高い側を選ぶことです。このように考えてください。より良い推測をするための情報は他にありません。サイコロについて知っているのは、特定のサイドがどのくらいの頻度で現れるか、最後のカップルが何を投げたかです。ただし、独立性があるため、前の行は現在のスローに影響を与えません。たぶん、サイコロを投げるのに使用される力の量、左手/右手投げ、または転がる前の揺れの数などの詳細情報がある場合。しかし、サイコロが本当に公平な場合、その詳細レベルでさえ、より良い予測を提供できるとは思えません。

— ブレントフェリエ

あなたの推測は正しいです。ホルダーの不等式（パラメーター

）の直接の結果です。

(1, \infty)

$(1, \infty)$

— whuber

P（H）= 0.2であることを知っていますか？それとも、結果を観察することで把握しなければならないことですか？

— アカバール

回答:

あなたが正しい。場合はあなたは、ゼロ1使用している、そしてロス（であるが、あなたは確率か何かとは対照的に、実際の結果を推測する必要があり、さらに、あなたが尾を推測する際の頭を取得することは悪いと同等ですあなたが頭を推測したときに尾を取得する）、あなたは毎回尾を推測する必要があります。 $P(H) = 0.2$

人々はしばしば、答えは無作為に選択された試験の80％の尾を推測し、残りの試験に向かうことだと誤って考える。この戦略は「確率マッチング」と呼ばれ、行動の意思決定において広く研究されています。たとえば、

West、RF、およびStanovich、KE（2003）。確率マッチングはスマートですか？確率的選択と認知能力との関連。記憶と認知、 31、243–251。土井：10.3758 / BF03194383

— コディオロジスト
ソース

確率一致へのポインターの+1。私はそれを認知バイアスとして毎日利用していると確信していますが、これまで聞いたことがないです！:)

— leekaiinthesky

（+1）これは、多項回帰モデルなどの解釈における一般的な誤解に関連しています：予測されたクラスの分布が観測されたクラスの分布と一致しないことに驚かされる可能性があります。。（名前があることを知っているのはいいことです。）

— Scortchi-モニカの復職

（+1）「確率の一致」という用語。

— ハイタオデュ

あなたは本質的に非常に興味深い質問をしています。「MAP Bayesian」最大事後推定または「Real Bayesian」を使用して予測する必要があります。

の真の分布を知っていて、次にMAP推定を使用して、次の100のフリップ結果で100の予測を行いたいと仮定します。頭と尾を推測するのではなく、常にフリップが尾であると推測する必要があります。これは「MAP Bayesian」と呼ばれ、基本的には $P(H)=0.2$ $20$ $80$

\arg max_{θ} f (x | θ)

$\arg\max_ \theta f(x|\theta)$

そうすることで、予測誤差（0-1損失）を最小化できることを証明するのは難しくありません。証明は、統計学習入門の〜ページ53にあります。

これを行う別の方法として、「リアルベイジアン」アプローチがあります。基本的に、「最も高い確率で結果を選択するが、すべてのケースを確率的に考慮する」ことを試みていないので、誰かが「次の100を予測する」フリップを頼んだ場合、あなたは彼/彼女を一時停止する必要があります。各結果の確率的情報が消えます。代わりに、結果を知った後に何をしたいのか尋ねる必要があります。

彼/彼女がいくつかの損失関数を持っていると仮定します（0-1の損失には必要ありません、例えば、損失関数は、頭を逃した場合、1 ドルを支払う必要がありますが、尾を逃した場合、あなたは支払う必要があります5 ドル、つまり不均衡な損失）を予測し、結果分布に関する知識を使用して、分布全体の損失を最小限に抑える必要があります

\sum_{x} \sum_{y} p (x, y) L (f (x), y)

$\sum_x \sum_y p(x,y) L(f(x),y)$

つまり、「段階的な方法」ではなく、損失に対する分布に関する知識を取り入れて、予測を取得し、次のステップを実行します。

さらに、多くの可能性のある結果がある場合に何が得られるかについて、非常に良い直観を持っています。結果の数が多く、確率質量が広く拡散している場合、MAP推定はうまく機能しません。100のサイドサイコロがあり、本当の分布を知っていると考えてください。ここで、、および $P(S_1)=0.1$ $P(S_2)=P(S_3)=P(S_{100})=0.9/99=0.009090$ 。MAPで何をしますか？それは他と比較して最大の確率を持っているので、あなたはいつもあなたが最初の側を得ると推測します。ただし、の間違いが発生します!! $S_1$ $90\%$

— ハイタオドゥ
ソース

MAPもベイジアンです。また、あなたは、両方のは、ベイズ法について書いているあなたのため、誤解を招くことができますどのような事前分布を使用してとにかく参照せずにアプローチについて説明し、事前確率は、これらのメソッドのコア機能。

— ティム

「だから、誰かが「次の100を予測する」フリップを頼んだら、あなたはそれを拒否するべきです」私が正しく予測した場合、その誰かが私に10億ユーロを提供したら、おそらく拒否しないでしょう。または、おそらく「推測する」とは異なる意味で「予測」を意味します。

— -JiK

「100個のバイナリ結果を与えた場合、各結果の確率的情報は消えます」最初はこれを「100個のバイナリ結果を与えられたとき」と読み、文を理解できませんでしたが、 100のバイナリ結果」。どちらが正しいですか？それが最初の場合、それはどういう意味ですか？

— JiK

非常にマイナーな点：最初の2つの段落が文字通りの質問に答えるのに技術的に十分であり、残りが多少の追加情報であることを示すために、おそらく2番目の段落の後に縦線を追加します（これは間違いなく興味深く有用です）。

— -JiK

最後の段落：「結果の数が多い場合、MAP推定はうまく機能しません。--ただし、90％の時間を間違えます!!」うまく機能しないことは、常にコンテキストの問題です。これが例えば繰り返し賭けゲームである場合（ポットは正しく推測するか、誰も推測しない場合に返される人々の間で分けられます）、MAP戦略は、例えば彼らの推測を描く人々と対戦する場合、長期的に多くのお金を獲得することになります結果の分布から。

— JiK

独立しているため、最も可能性の高いケースを推測すると、期待値は常に最大化されます。各フリップ/ロールはコイン/ダイに関する追加情報を提供しないため、より良い戦略はありません。

可能性の低い結果を推測する場合、勝つための予想は、最も可能性の高いケースを推測した場合よりも小さいため、最も可能性の高いケースを推測する方がよいでしょう。

フリップしたときに戦略を変更する必要があるようにしたい場合は、最初にオッズがわからないコイン/ダイを検討し、ロールするときにそれらを把握する必要があります。

— キッターキャッター
ソース

私にとって、この答えは最も簡単な説明です。以前の結果を考慮した戦略を定義する必要がある場合、これは「独立した」確率を破ります。

— ウォルフラット