分位（逆CDF）関数の理解を手伝ってください

分位数関数について読んでいますが、はっきりしていません。以下に示す説明よりも直感的な説明を提供できますか？

cdfは単調増加関数であるため、逆関数になります。これを示しましょう。場合の累積分布関数であるは、の値であるように、。これは分位数と呼ばれます。値は分布の中央値で、確率質量の半分が左側に、半分が右側にあります。値およびは、下位および上位の四分位数です。 $F$ $F^{−1}$ $F$ $X$ $F^{−1}(\alpha)$ $x_\alpha$ $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ $\alpha$ $F$ $F^{−1}(0.5)$ $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

— インダーギル
ソース

あなたは数学のマークアップを使うことを学ぶべきです、私の編集を見てください！

— kjetil bハルヴォルセン

これはあるレベルでの簡潔な説明のモデルであり、すでに例を含んでいます。どのレベルの説明を求めるかは明確ではありません。答えは、あなたが知らないことにもよりますが、これよりも10倍長くなります。たとえば、cdfを知っていますか？「単調増加」の意味を知っていますか？逆関数とは何か知っていますか？最初の文はまだ途中です。あなたの質問は、あなたがこれを（すべて）理解していないという声明に相当し、あなたを疑う理由はありませんが、それはまったく正確な質問ではありません。

— ニックコックス

これは最初は複雑に聞こえるかもしれませんが、基本的には非常に単純なものです。

累積分布関数により、 $X$ がある値 $x$ 以下の確率を返す関数を示します。

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

この関数は、入力として受け取り $x$ からの戻り値 $[0, 1]$ 間隔（確率）として-LEtの意味それら $p$ 。累積分布関数（または変位値関数）の逆関数は、 $x$ が $F(x)$ 値 $p$ 返すようにするものを示します。

F^{- 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

これは、例として正規累積分布関数（およびその逆関数）を使用する以下の図に示されています。

例

簡単な例として、標準のGumbelディストリビューションを使用できます。その累積分布関数は

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

簡単に反転できます。自然対数関数は指数関数の逆関数であるため、Gumbel分布の分位関数は次のようになります。

F^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

ご覧のとおり、分位数関数は、その代替名に従って、累積分布関数の動作を「反転」します。

一般化された逆分布関数

すべての関数に逆関数があるわけではありません。それがあなたが参照する引用が「単調に増加する機能」と言う理由です。functionの定義から、各入力値に正確に1つの出力を割り当てる必要があることを思い出してください。連続ランダム変数の累積分布関数は単調に増加するため、この特性を満たします。離散ランダム変数の場合、累積分布関数は連続的ではなく増加するため、減少しない必要がある一般化された逆分布関数を使用します。より正式には、一般化された逆分布関数は次のように定義されます。

F^{- 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

平易な英語への翻訳の定義は、与えられた確率値のためと言う $p$ 、我々はいくつか探している $x$ での結果という、 $F(x)$ その値の大きいを返すか等しい $p$ 複数の値が、以来があるかもしれない、これを満たします条件（例： $x$ $F(x) \ge 0$ について真である任意の $x$ ）、我々は最小取るので、 $x$ 、それらのを。

逆関数のない関数

一般的に、異なる入力に対して同じ値を返すことができる機能のための逆関数が存在しない、例えば密度関数（例えば、標準正規密度関数は対称であるので、同じ値を返し $-2$ 及び $2$ 等）。正規分布は、もう1つの理由から興味深い例です。これは、閉形式逆関数を持たない累積分布関数の例の1つです。すべての累積分布関数が閉形式の逆関数である必要はありません！うまくいけば、そのような場合、数値法を使用して逆関数を見つけることができます。

使用事例

クォンタイル関数は、逆変換法の仕組みで説明されているように、ランダム生成に使用できます。

— ティム
ソース

この回答は、最後から2番目の段落までうまく機能します。そこにたどり着くまでに、すべての連続したCDFには逆関数があると断言しましたが、正規分布をその例の反例として提供しているように見えます。それは潜在的に非常に紛らわしいです。

— whuber

@whuberあなたは正しいです、それをより明確にするために1つの文を追加しました。

— ティム

ティム、そして私はそれをさらに明確にするためにもう1つの単語を追加しました:)

— amoebaはReinstate Monica

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$ 最大の下限が得られます。つまり、一意のポイントを修正し、そうすることで一般化逆数を定義します。これは理にかなっていますか？

— アレクサンダーCska

@AlexanderCskaはい、基本的に、複数のF（x）値はuよりも大きいため、下限、つまり「この条件を満たす最小値」を取ります。

— ティム

ティムは非常に徹底的な回答をしました。よくやった！

もう1つコメントを追加したいと思います。すべての単調増加関数に逆関数があるわけではありません。実際には、厳密に単調増加/減少する関数のみが逆関数を持ちます。

厳密に単調に増加しない単調に増加する累積分布関数に対して、逆累積分布関数とも呼ばれる分位数関数があります。詳細はこちらをご覧ください。

$F^{-1}$

— 李g光
ソース