分布のフーリエ変換

正規分布と一般化アークサイン分布の他に、どの分布が独自のフーリエ変換ですか？

のフーリエ変換がX （f ）であるとします where。逆変換は $x(t)$$X(f)$

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$$ $i = \sqrt{-1}$ $$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$$

フーリエ変換のいくつかのプロパティは次のとおりです。

• のフーリエ変換は$X(t)$$x(-f)$

• 場合実数値であっても関数であるは、 の実数値であっても関数である。$x(t)$$t$$X(f)$$f$

したがって、がの実数値の偶関数で場合、実数値の偶関数のフーリエ変換 は$x(t)$$t$$X(t)$$x(f)$

ここで、が偶数確率密度関数（すべてのになるように）であり、追加のプロパティあると仮定します。また、そのフーリエ変換 は、すべてのというプロパティがあると仮定します。次に、 は、面積の非負の実数値関数なので、、はというプロパティを持つ確率密度関数でもあります$x(t)$$x(t) \geq 0$$t$$x(0) = 1$$X(f)$$X(f) \geq 0$$f$

$$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$$ $X(f)$$f$$1$$X(f)$$X(0) = 1$。このような関数のペアの1つの例は、OP Neil Gによって引用される正規分布です。 別の例は $$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$$ $$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$$

は、フーリエ変換がある混合密度である ことに注意してください であり、 同じ混合密度。$\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$$\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

したがって、がフーリエ変換密度関数である場合$x(t)$$X(f)$が密度関数である密度関数である場合、混合密度関数 $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

$x_1(t)$$\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

$$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$$ $\alpha \in [0,1]$