切り捨てられたSVDの再構成エラーが2乗された特異値の合計に等しいのはなぜですか？

私はこの公式を教科書で見ました：元の行列の二乗フロベニウスノルムからその切り捨てSVD（近似誤差として見ることができます）は、二乗特異値の合計に等しくなります。 $\mathbf X$ $\mathbf X_k$

何故ですか？それを証明する方法は？

svd approximation

— user93892
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ましょのSVDこと行列。してみましょうである任意の左及び直交変換（反射及び回転）下右不変である行列ノルム。つまり、が直交行列であるか、が直交行列である場合は、

X = U Σ V^{'}

$X = U\Sigma V^\prime$

n \times r

$n\times r$

X

$X$

| | | |

$||\quad ||$

P

$P$

n \times n

$n\times n$

Q

$Q$

r \times r

$r\times r$

| | P^{'} X Q | | = | | X | | .

$||P^\prime X Q|| = ||X||.$

次に、SVDの定義そのものによって、と直交性は、意味し $U$ $V$

| | U^{'} (X - A) V | |^{2} = | | Σ - U^{'} A V | |^{2} .

$||U^\prime (X-A) V||^2 = ||\Sigma - U^\prime A V||^2.$

以来、作るために処方される最初に一致する対角行列対角行列のエントリ、右側はちょうど乗ノルムであるもの後の対角エントリがゼロにされています。 $A$ $U^\prime A V$ $k$ $\Sigma$ $\Sigma$ $k$

フロベニウスノルム（2乗は引数の2乗エントリの合計です）の場合、このゼロ化されたコピーの2乗ノルムは、残りのエントリの2乗の合計です。 $\Sigma$

| | Σ - U^{'} A V | |^{2} = \sum_{j = k + 1}^{r} δ_{j}^{2} .

$||\Sigma - U^\prime A V||^2 = \sum_{j=k+1}^r \delta_j^2.$

しかし、フロベニウスノルムは明らかに直交行列による左と右の乗算の下で不変です。なぜなら、定義による直交性とはユークリッドノルムの保存を意味し、フロベニウスノルム（二乗した場合）は両方とも（a）行の二乗したユークリッドノルムの合計です。（したがって、左の乗算では不変であり、各行のノルムが保持されます）および（b）列の2乗ユークリッドノルムの合計です（右の乗算では不変であり、各列のノルムが保持されます）。

— whuber
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