モーメント生成関数の限界

この質問は、モーメント生成関数（MGF）の限界についてここで質問されたものから生じます。

仮定 $X$ 有界ゼロ平均ランダム変数に値を取っている $[-\sigma, \sigma]$ とlet $G(t) = E[e^{tX}]$ であり、そのMGFを。Hoeffdingの不等式の証明に使用される結合した、我々はその

G （ t ） = E [e^{t バツ}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$ ここで、右側は標準偏差

σ

$\sigma$ ゼロ平均正規確率変数のMGFとして認識できます。今の標準偏差

X

$X$ より大きくなることはできません

σ

$\sigma$ ときに最大値が発生すると、

X

$X$ 例えば、その離散ランダム変数である

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ 。したがって、参照される境界は、ゼロ平均有界確率変数

X

$X$ のMGFは、標準偏差が

X

$X$ が取りうる最大の標準偏差に等しいゼロ平均正規確率変数のMGFによって上に制限されると考えることができます持ってる。

私の質問は次のとおりです。これは、Hoeffdingの不等式の証明以外の場所で使用される独立した関心のよく知られた結果であり、もしそうなら、非ゼロの平均でランダム変数に拡張することも知られていますか？

プロンプトは、この質問は、その結果、非対称範囲でき $[a,b]$ のために $X$ 用いてが、主張ない。バインドは、 $a < 0 < b$ $E[X] = 0$

G （ t ） \leq e^{t^{2} （ b - a ）^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a バツ}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$ に制限値を持つ確率変数のための可能な最大標準偏差である

[a, b]

$[a,b]$ が、この最大値がない限り、ゼロ平均ランダム変数によって達成されていない

b = - a

$b = -a$ 。

probability probability-inequalities mgf

— ディリップ・サルワテ
ソース

引用するようなmgfの範囲を満たす確率変数は、サブガウス確率変数と呼ばれます。それらは、例えば、非漸近的ランダム行列理論および圧縮センシングにおけるいくつかの関連する結果において中心的な役割を果たします。たとえば、回答のリンクを参照してください。（それは、関連する性質のものであるが、これは明らかにあなたの特定の質問に話すことはありません。）

— 枢機卿

あなたの質問の最初の部分に答えることはできませんが、それを非ゼロの手段でランダム変数に拡張することに関しては...

$Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

$\sigma_\text{max}$

— ボーマン
ソース