整数以外の形状パラメーターを持つガンマ分布の別の解釈はありますか？

整数形状パラメータkでガンマ分布されている確率変数$k$は、$k$正規分布確率変数の二乗の合計に等しいことはよく知られています。

しかし、整数k以外のガンマ分布確率変数については何が言える$k$でしょうか。ガンマ分布以外の解釈はありますか？

場合と独立しており、次いで特に、場合、と同じ分布で配布されます 任意の。（この特性は無限分割可能性と呼ばれます。）つまり、場合、が整数でない場合、はと同じ分布を持ち、はから独立していますそして $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ $n\in\mathbb N$$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha$$X$$Y+Z$$Z$$Y$ $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ 整数値の形状ガンマには特に意味はありません。$\alpha$

逆に、が場合、がから独立している場合、と同じ分布になりますおよびしたがって、分布はで不変です$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha<1$$YU^{1/\alpha}$$Y$$U\sim{\cal U}(0,1)$

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ ${\cal G}(\alpha,1)$ $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$