Rでような回帰を適合させる方法は？

測定された変数が離散正整数（カウント）であるいくつかの時系列データがあります。時間の経過とともに上昇傾向があるかどうかをテストしたいと思います。独立変数（x）の範囲は0〜500、従属変数（y）の範囲は0〜8です。

y = floor(a*x + b)通常の最小二乗（OLS）を使用してフォームの回帰を当てはめることで、これに答えると思いました。

R（またはPython）を使用してこれを行うにはどうすればよいですか？そのための既存のパッケージはありますか、それとも自分のアルゴリズムを記述した方がよいですか？

PS：これは理想的な手法ではないことはわかっていますが、実際に理解できる比較的単純な分析を行う必要があります。私の背景は数学ではなく生物学です。測定された変数の誤差、および時間の経過に伴う測定値の独立性に関する仮定に違反していることを知っています。

でnls（非線形最小二乗）関数を使用して、指定したモデルに適合させることもできますがR、これは多くの仮定に違反し、おそらくあまり意味がありません（予測される結果はステップの周りでランダムであると言っています）関数、スムーズに増加する関係の周りの整数値ではありません）。

カウントデータを近似するより一般的な方法は、のglm関数を使用してポアソン回帰を使用することですR。ヘルプページの最初の例はポアソン回帰ですが、統計に精通していない場合は、統計学者に相談して確認することをお勧めしますあなたが物事を正しく行っていること。

8の値が絶対最大値である場合（これだけではなく、より高い数を表示することは不可能です）、比例オッズロジスティック回帰を検討することができます。これを行うためのツールがいくつかありますがR、あなたがこれをしたいなら、本当に統計学者を巻き込むべきです。

$\def\lf{\lfloor}\def\rf{\rfloor}\def\pnorm{\mathrm{pnorm}}$グレッグの提案が最初に試すことであることは明らかです：ポアソン回帰は多くの多くの具体的な自然モデルです状況。

しかし、あなたが丸みを帯びたデータを観察する場合などで発生する可能性が示唆されているモデル： IID通常のエラーと。

$$Y_i = \lf ax_i + b + \epsilon_i \rf,$$ $\epsilon_i$

これで何ができるのか見てみるのも面白いと思います。標準正規変数の累積分布関数を示します。もし、次いで 使い慣れたコンピュータ表記を使用します。$F$$\epsilon \sim \mathcal N(0,\sigma^2)$

$$\begin{align*} \mathbb P\left(\lf ax + b + \epsilon \rf = k\right) &= F\left({k-b+1-ax\over \sigma}\right) - F\left({k-b-ax\over \sigma}\right)\\ &= \pnorm(k+1-ax-b,sd=\sigma) - \pnorm(k-ax-b,sd=\sigma),\end{align*}$$

データポイント観察します。対数尤度は、 これは最小二乗と同じではありません。数値的な方法でこれを最大化することができます。これがRのイラストです：$(x_i,y_i)$

$$\ell(a,b,\sigma) = \sum_i \log\left( F\left({y_i-b+1-ax_i\over \sigma}\right) - F\left({y_i-b-ax_i\over \sigma}\right) \right).$$

log_lik <- function(a,b,s,x,y)
  sum(log(pnorm(y+1-a*x-b, sd=s) - pnorm(y-a*x-b, sd=s)));

x <- 0:20
y <- floor(x+3+rnorm(length(x), sd=3))
plot(x,y, pch=19)
optim(c(1,1,1), function(p) -log_lik(p[1], p[2], p[3], x, y)) -> r
abline(r$par[2], r$par[1], lty=2, col="red")
t <- seq(0,20,by=0.01)
lines(t, floor( r$par[1]*t+r$par[2]), col="green")

lm(y~x) -> r1
abline(r1, lty=2, col="blue");

赤と青では、線はそれぞれ、この尤度の数値最大化によって検出され、最小二乗です。緑色の階段は、最尤から見つかっです...これは、最小2乗を使用して、を0.5だけ平行移動して、ほぼ同じ結果を得ることができることを示唆しています。または、その最小二乗はモデルにうまく適合します ここで、は最も近い整数です。丸められたデータが頻繁に出会うため、これは既知であり、広範囲にわたって研究されていたと確信しています...$ax+b$$\lf ax +b\rf$$a,b$$b$

$$Y_i = [ a x_i + b +\epsilon_i],$$ $[x] = \lf x + 0.5 \rf$