との違いは何ですか？

9

ランダムなサンプルます。 $\lbrace x_n ,y_n \rbrace_{n=1}^N$

と仮定します

y_{n} = β_{0} + β_{1} x_{n} + ε_{n}

$y_n = \beta_0 + \beta_1 x_n + \varepsilon_n$

および

{\hat{y}}_{n} = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} x_{n}

$\hat{y}_n = \hat{\beta}_0 +\hat{\beta}_1 x_n$

との違いは何ですか？ $\beta_1$ $\hat{\beta}_1$

regression

— スタン・シュンパイク
ソース

6

β

$\beta$ は実際の係数で、は推定値です。

\hat{β}

$\hat{\beta}$

β

$\beta$

— ARAT 2016年

1

これは以前の投稿の複製ではありませんか？私は驚かれます...

— リチャードハーディ

7

$\beta_1$ はアイデアです-実際には存在しません。しかし、ガウスマルコフの仮定が成り立つ場合、は、従属変数に垂直な垂直「スライス」上で、その上下に値を持つ最適な勾配を与え、残差の正規正規ガウス分布を形成します。は、サンプルに基づくの推定です。 $\beta_1$ $\hat \beta_1$ $\beta_1$

集団からのサンプルで作業しているという考えです。必要に応じて、サンプルがデータクラウドを形成します。次元の1つが従属変数に対応し、エラー項を最小化する線に適合しようとします-OLSでは、これはモデル行列の列空間によって形成されるベクトル部分空間への従属変数の投影です。母集団パラメーターのこれらの推定値は、記号で示されます。データポイントが多いほど、推定された係数が正確になり、これらの理想化された母集団係数推定が向上します。 $\hat \beta$ $\hat \beta_i$ $\beta_i$

青の「母集団」と孤立した黒い点のサンプルの間の勾配の違い（と）は次のとおりです。 $\beta$ $\hat \beta$

回帰線は点線で黒く表示されますが、合成的に完全な「母集団」の線は青色で表示されます。ポイントの豊富さは、残差分布の正規性の触覚を提供します。

— アントニ・パレッラダ
ソース

9

「帽子」の記号は、一般に「真」の値とは対照的に、推定値を表します。したがって、は推定値です。いくつかの記号には独自の規則があります。たとえば、標本分散はではなく、多くの場合と表記されますが、偏った推定と不偏推定を区別するために両方を使用する人もいます。 $\hat{\beta}$ $\beta$ $s^2$ $\hat{\sigma}^2$

特定のケースでは、値は線形モデルのパラメーター推定値です。線形モデルでは、結果変数が、対応する値によってそれぞれ重み付けされたの線形結合によって生成されると想定しています。実際には、もちろん、これらの値は不明であり、存在しない場合もあります（おそらく、データは線形モデルによって生成されません）。それにもかかわらず、を近似するデータから値を推定できます。 $\hat{\beta}$ $Y$ $x_i$ $\beta_i$ $\beta$ $\hat{\beta}$ $Y$

— マット・クラウス
ソース

4

方程式

y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i} + ϵ_{i}

$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$

真のモデルと呼ばれるものです。この方程式は、変数と変数間の関係は、線で説明できることをます。ただし、観測された値はその正確な方程式に従うことはないため（エラーのため）、エラーを示すために追加のエラー項が追加されます。エラーは、と関係からの自然な逸脱として解釈できます。以下にと 2つのペアを示します（黒い点はデータです）。一般に、が増加するとが増加することがわかります。両方のペアについて、真の方程式は $x$ $y$ $y = \beta_0 + \beta_1x$ $\epsilon_i$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x$ $y$

y_{i} = 4 + 3 x_{i} + ϵ_{i}

$y_i = 4 + 3x_i + \epsilon_i$ ただし、2つのプロットには異なるエラーがあります。左側のプロットには大きな誤差があり、右側のプロットには小さな誤差があります（点が狭いため）。（私は自分でデータを生成したので、私は本当の方程式を知っています。一般的に、あなたは本当の方程式を決して知りません）

左側のプロットを見てみましょう。真のと真の = 3ですが、実際にはデータが与えられたとき、私たちは真実を知りません。だから私たちは真実を推定します。我々は推定ととと。使用する統計手法に応じて、推定値は大きく異なる場合があります。回帰設定では、推定値は通常最小二乗法と呼ばれる方法で取得されます。これは、最適なラインの方法としても知られています。基本的に、データに最適な線を引く必要があります。ここでは数式については説明しませんが、OLSの数式を使用すると、 $\beta_0 = 4$ $\beta_1$ $\beta_0$ $\hat{\beta}_0$ $\beta_1$ $\hat{\beta}_1$

{\hat{β}}_{0} = 4.809 and {\hat{β}}_{1} = 2.889

$\hat{\beta}_0 = 4.809 \quad \text{ and } \quad \hat{\beta}_1 = 2.889$

結果として得られる最適なラインは、

簡単な例は、母と娘の身長の関係です。ましょう母親との高さ =娘の高さを。当然、背の高い母親には背の高い娘がいると予想されます（遺伝的類似性のため）。ただし、1つの方程式で母と娘の身長を正確に要約できると思いますか？母の身長がわかっていれば、娘の正確な身長を予測できますか？いいえ。一方、関係を平均的なステートメントの助けを借りて要約できるかもしれません。 $x =$ $y$

TL DR：は人口の真実です。これは、と間の未知の関係を表します。とすべての可能な値を常に取得できるわけではないため、母集団からサンプルを収集し、そのデータを使用してを推定しようとします。は私たちの見積もりです。データの関数です。ありませんデータの関数が、真実。 $\beta$ $y$ $x$ $y$ $x$ $\beta$ $\hat{\beta}$ $\beta$

— Greenparker
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