一致したペアの自由度がでペアの数から1を引いた理由は何ですか？

Iは、以下のように"自由度"を知ることに慣れあなたは線形モデル有し、と、ランク設計行列、、と、。 $n - r$

y = X β + ϵ

$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}$

y \in R^{n}

$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$

X \in M_{n \times p} (R)

$\mathbf{X} \in M_{n \times p}(\mathbb{R})$

r

$r$

β \in R^{p}

$\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^p$

ϵ \in R^{n}

$\boldsymbol{\epsilon} \in \mathbb{R}^n$

ϵ \sim N (0, σ^{2} I_{n})

$\boldsymbol{\epsilon} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I}_n)$

σ^{2} > 0

$\sigma^2 > 0$

基本統計（つまり、線形代数を使用した事前線形モデル）で思い出したことから、対応のあるペアのの自由度は $t$ 、差の数から引いたもの $1$ です。したがって、これはおそらく $\mathbf{X}$ がランク1になることを伴います。これは正しいです？そうでない場合、なぜ $n-1$ は一致ペア自由度 $t$ ですか？

コンテキストを理解するために、混合効果モデル

y_{i j k} = μ_{i} + some random effects + e_{i j k}

$y_{ijk} = \mu_i + \text{ some random effects} + e_{ijk}$ があるとします

ここで、

i = 1, 2

$i = 1, 2$ 、

j = 1, \dots, 8

$j = 1, \dots, 8$ 、および

k = 1, 2

$k = 1, 2$ 。

は特別な

μ_{i}

$\mu_i$ 効果はありませんが、それは固定効果であり、

e_{i j k} \overset{i i d}{\sim} N (0, σ_{e}^{2})

$e_{ijk} \overset{iid}{\sim}\mathcal{N}(0, \sigma^2_e)$ です。この場合は固定効果のみを考慮しているため、ランダム効果はこの問題には無関係であると想定しています。

信頼区間を提供したいと $\mu_1 - \mu_2$ ます。

$\bar{d}_\cdot = \dfrac{1}{8}\sum d_j$ は不偏推定量であることをすでに示し $\mu_1 - \mu_2$ 。ここで、 $d_j = \bar{y}_{1j\cdot} - \bar{y}_{2j\cdot}$ 、 $\bar{y}_{1j\cdot} = \dfrac{1}{2}\sum_{k}y_{1jk}$ 、および $\bar{y}_{21\cdot}$ も同様に定義されています。ポイント推定 $\bar{d}_{\cdot}$ が計算されました。

I既にことが示されている

s_{d}^{2} = \frac{\sum_{j} (d_{j} - {\bar{d}}_{\cdot})^{2}}{8 - 1}

$s^2_d = \dfrac{\sum_{j}(d_j - \bar{d}_{\cdot})^2}{8-1}$ の分散の不偏推定量である

d_{j}

$d_j$ 、及びしたがって、

\sqrt{\frac{s_{d}^{2}}{8}}

$\sqrt{\dfrac{s^2_d}{8}}$ は

の標準エラーです

{\bar{d}}_{\cdot}

$\bar{d}_{\cdot}$ 。これは計算されています。

最後の部分は、自由度を計算することです。このステップでは、通常、ランク2の設計行列を見つけようとしますが、この問題の解決策があり、自由度はます。 $8-1$

計画行列のランクを見つけることに関して、なぜ自由度はですか？ $8-1$

追加のために編集：この議論でおそらく役立つのは、検定統計量の定義方法です。パラメータベクトルます。この場合、（完全に何かが欠けている場合を除きます）。基本的に、仮説検定を実行しています where。次に、検定統計量はは、で中央分布に対してテストされます $\boldsymbol{\beta}$

β = [\begin{matrix} μ_{1} \\ μ_{2} \end{matrix}]

$\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{bmatrix}$

c^{'} β = 0

$\mathbf{c}^{\prime}\boldsymbol{\beta} = 0$

c^{'} = [\begin{matrix} 1 & - 1 \end{matrix}]

$\mathbf{c}^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}$

t = \frac{c^{'} \hat{β}}{\sqrt{{\hat{σ}}^{2} c^{'} (X^{'} X)^{- 1} c}}

$t = \dfrac{c^{\prime}\hat{\boldsymbol{\beta}}}{\sqrt{\hat{\sigma}^2c^{\prime}(\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{c}}}$

t

$t$

n - r

$n - r$ ここで、は上記の計画行列であり、ここで、。

X

$\mathbf{X}$

{\hat{σ}}^{2} = \frac{y^{'} (I - P_{X}) y}{n - r}

$\hat{\sigma}^2 = \dfrac{\mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}}{n-r}$

P_{X} = X (X^{'} X)^{- 1} X^{'}

$\mathbf{P}_{\mathbf{X}} = \mathbf{X}(\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{\prime}$

t-test degrees-of-freedom

— クラリネット奏者
ソース

回答:

マッチ対と検定対は、実際には1サンプルであるサイズのサンプルと検定。あなたは持っているの違いは、これらはIIDと正規分布しています。後の最初の列には $t$ $n$ $t$ $n$ $n$ $d_1,\ldots,d_n$

\begin{array}{ccccc} [\begin{matrix} d_{1} \\ ⋮ \\ d_{n} \end{matrix}] & = & [\begin{matrix} \bar{d} \\ ⋮ \\ \bar{d} \end{matrix}] & + & [\begin{matrix} d_{1} - \bar{d} \\ ⋮ \\ d_{1} - \bar{d} \end{matrix}] \\ n d.f. & 1 d.f. & (n - 1) d.f. \end{array}

$\begin{array}{ccccc} \begin{bmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d_n \end{bmatrix} & = & \begin{bmatrix} \bar d \\ \vdots \\ \bar d \end{bmatrix} & + & \begin{bmatrix} d_1 - \bar d \\ \vdots \\ d_1 - \bar d \end{bmatrix} \\[10pt] n \text{ d.f.} & & 1 \text{ d.f.} & & (n-1) \text{ d.f.} \end{array}$

“ =''

$\text{“}{=}\text{''}$

1

$1$ すべてのエントリが等しいと言う線形制約による自由度。エントリの合計がであるという線形制約のため、2番目の自由度は自由度です。

n - 1

$n-1$

0

$0$

— マイケル・ハーディ
ソース

つまり、ここでの自由度がある理由は、線形モデルとは関係ありません？

n - 1

$n-1$

y = X β + ϵ

$\mathbf{y}=\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\epsilon}$

— クラリネット奏者2016年

それはそのモデルと関係があります。ここで、行列は秒の列であり、は行列で、その唯一のエントリは2つの母間の差です。

X

$\mathbf X$

1

$1$

β

$\boldsymbol{\beta}$

1 \times 1

$1\times1$

$\qquad$

— Michael Hardy、

ああ！したがって、ベクトルは sのベクトルになりますよね？どうもありがとうございました！これに対する答えを見つけるのがどれほど難しいか信じられません！

y

$\mathbf{y}$

d_{i}

$d_i$

— クラリネット奏者2016年

はい。これは、一致したペアで観測された差異のベクトルです。

n

$n$

$\qquad$

— Michael Hardy、

私の質問に答えてくれたMichael Hardyに感謝します。

考えはこれです：let and。次に、線形モデルは、ここであるすべてのものの-ベクトル、及び明らかにランクはなので、自由度はになります。

y = [\begin{matrix} d_{1} \\ ⋮ \\ d_{n} \end{matrix}]

$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d_n \end{bmatrix}$

β = [μ_{1} - μ_{2}]

$\boldsymbol{\beta} = [\mu_1 - \mu_2]$

y = 1_{n \times 1} β + ϵ

$\mathbf{y} = \mathbf{1}_{n \times 1}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}$

1_{n \times 1}

$\mathbf{1}_{n \times 1}$

n

$n$

ϵ = [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ⋮ \\ ϵ_{n} \end{matrix}] \sim N (0, σ^{2} I_{n}) .

$\boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \vdots \\ \epsilon_n \end{bmatrix} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I}_n)\text{.}$

X = 1_{n \times 1}

$\mathbf{X} = \mathbf{1}_{n \times 1}$

1

$1$

n - 1

$n-1$

を等しく設定する方法を知るにはどうすればよいですか？リコールその、それは容易に理解できるように、すべてについて。私たちの考える、それはどのような明白ですでなければなりません。それの訳は $\boldsymbol{\beta}$ $[\mu_1 - \mu_2]$

E [y] = X β

$\mathbb{E}[\mathbf{y}] = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$

E [d_{j}] = μ_{1} - μ_{2}

$\mathbb{E}[d_j] = \mu_1 - \mu_2$

j

$j$

X

$\mathbf{X}$

β

$\boldsymbol{\beta}$

E [y] = E [[\begin{matrix} d_{1} \\ ⋮ \\ d_{n} \end{matrix}]] = [\begin{matrix} E [d_{1}] \\ ⋮ \\ E [d_{n}] \end{matrix}] = [\begin{matrix} μ_{1} - μ_{2} \\ ⋮ \\ μ_{1} - μ_{2} \end{matrix}] = X β = 1_{n \times 1} β = [\begin{matrix} 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}] β

$\mathbb{E}[\mathbf{y}] = \mathbb{E}\left[\begin{bmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d_n \end{bmatrix} \right] = \begin{bmatrix} \mathbb{E}[d_1] \\ \vdots \\ \mathbb{E}[d_n] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_1 - \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_1 - \mu_2 \end{bmatrix} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta = \mathbf{1}_{n \times 1}\boldsymbol\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}\boldsymbol\beta$ soは、行列である必要があります。

β

$\boldsymbol\beta$

1 \times 1

$1 \times 1$

β = [μ_{1} - μ_{2}]

$\boldsymbol\beta = [\mu_1 - \mu_2]$

セット。次に、仮説検定はしたがって、検定統計は我々が持っているいくつかの作業の後、また、 $\mathbf{c}^{\prime} = [1]$

H_{0} : c^{'} β = 0 .

$H_0: \mathbf{c}^{\prime}\boldsymbol{\beta} = 0\text{.}$

\frac{c^{'} \hat{β}}{\sqrt{{\hat{σ}}^{2} c^{'} {(X^{'} X)}^{- 1} c}} .

$\dfrac{\mathbf{c}^{\prime}\hat{\boldsymbol{\beta}}}{\sqrt{\hat{\sigma}^2\mathbf{c}^{\prime}\left(\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{X}\right)^{-1}\mathbf{c}}}\text{.}$

{\hat{σ}}^{2} = \frac{y^{'} (I - P_{X}) y}{n - r (X)} .

$\hat{\sigma}^2 = \dfrac{\mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}}{n-r(\mathbf{X})}\text{.}$

P_{X} = P_{1_{n \times 1}} = 1_{n \times 1} (\frac{1}{n}) 1^{'} .

$\mathbf{P}_\mathbf{X} = \mathbf{P}_{\mathbf{1}_{n \times 1}} = \mathbf{1}_{n \times 1}\left(\dfrac{1}{n}\right)\mathbf{1}^{\prime}\text{.}$

I - P_{X}

$\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}$ 対称でべき等です。したがって、と

\begin{aligned} {\hat{σ}}^{2} & = \frac{y^{'} (I - P_{X}) y}{n - r (X)} \\ = \frac{y^{'} (I - P_{X})^{'} (I - P_{X}) y}{n - r (X)} \\ = \frac{‖ (I - P_{X}) y ‖^{2}}{n - r (X)} \\ = \frac{{‖ [I - 1_{n \times 1} (\frac{1}{n}) 1^{'}] y ‖}^{2}}{n - 1} \\ = \frac{{‖ [\begin{matrix} d_{1} \\ ⋮ \\ d_{n} \end{matrix}] - [\begin{matrix} {\bar{d}}_{\cdot} \\ ⋮ \\ {\bar{d}}_{\cdot} \end{matrix}] ‖}^{2}}{n - 1} \\ = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (d_{i} - {\bar{d}}_{\cdot})^{2}}{n - 1} \\ = s_{d}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\sigma}^2 &= \dfrac{\mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}}{n-r(\mathbf{X})} \\ &= \dfrac{\mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}}{n-r(\mathbf{X})} \\ &= \dfrac{\|(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}\|^{2}}{n-r(\mathbf{X})} \\ &=\dfrac{\left\|\left[\mathbf{I}-\mathbf{1}_{n \times 1}\left(\dfrac{1}{n}\right)\mathbf{1}^{\prime}\right]\mathbf{y} \right\|^2}{n-1} \\ &= \dfrac{\left\|\begin{bmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d_n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{d}_\cdot \\ \vdots \\ \bar{d}_\cdot \end{bmatrix} \right\|^2}{n-1} \\ &= \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(d_i-\bar{d}_{\cdot})^2}{n-1} \\ &= s^2_d \end{align}$

X^{'} X = 1_{n \times 1}^{'} 1_{n \times 1} = n

$\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{X} = \mathbf{1}_{n \times 1}^{\prime}\mathbf{1}_{n \times 1} = n$ れる明らか有します逆、したがってテスト統計を与え、度の中心分布でテストされます自由自在。

1 / n

$1/n$

\frac{{\hat{μ}}_{1} - {\hat{μ}}_{2}}{\sqrt{s_{d}^{2} / n}}

$\dfrac{\hat\mu_1-\hat\mu_2}{\sqrt{s^2_d/n}}$

t

$t$

n - 1

$n - 1$

— クラリネット奏者
ソース