CDFが厳密に増加していると仮定せずに確率積分変換を証明する

このサイトでは、確率積分変換の証明が複数回行われていることを知っています。しかし、私が見つけた証明はCDFが$F_X(x)$ 厳密に増加しています（もちろん、一緒に、 $X$は連続確率変数です）。実際に必要な唯一の仮説は$X$は連続確率変数であり、厳密な単調性は必要ありません。方法を教えてください。

私はすでにここにいるので、機会に確率積分変換の簡単な適用を依頼することもできます:) $X$ CDFあり $F_X(x)$ そして $Y$ の切り捨てです $X$ に $[a,b]$、その後 $Y$ として配布されます $F_X^{-1}(U)$ どこ $U\sim[F_X(a),F_X(b)]$？

OPによって提供されるウィキペディアリンクでは、単変量の場合の確率積分変換は次のように与えられます。

確率変数が $X$ 累積分布関数（CDF）が次の連続分布である $F_X$。次に確率変数$Y=F_X(X)$分布は均一です。 確率変数が与えられた場合の
証明
$X$、定義 $Y = F_X (X)$。次に：

$$\begin{align} F_Y (y) &= \operatorname{Prob}(Y\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_X (y)) \\ &= F_X (F^{-1}_X (y)) \\ &= y \end{align}$$

$F_Y$ のCDFです $\mathrm{Uniform}(0,1)$確率変数。したがって、$Y$ 間隔に均一な分布があります $[0, 1]$。

上記の問題は、シンボルが何であるか明確にされていないことです $F_X^{-1}$を表します。「通常の」逆（バイジェクションのみに存在する）を表す場合、上記の証明は連続的で厳密に増加するCDF に対してのみ適用されます。しかし、これは当てはまりません。CDFの場合、分位関数（基本的には一般化された逆関数）を使用するためです。

$$F_Z^{-1}(t) \equiv \inf \{z : F_Z(z) \geq t \}, \;\;t\in (0,1)$$

この定義の下で、ウィキペディアの一連の平等は、継続的なCDFのために引き続き保持されます。重要な平等は

$$\operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_{X} (y)) = \operatorname{Prob}(X\leq \inf \{x : F_X(x) \geq y \})= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y)$$

これは、継続的なCDFを調査しているためです。これは実際には、そのグラフが連続的であることを意味します（これは関数であり、対応ではないため、垂直部分がない）。次に、これらは、最小値（inf {...}の値）がであることを示し、常にになることを意味します。残りはすぐです。$x(y)$$F_X(x(y)) = y$

離散（または混合）分布のCDFに関して、が一様なに従うことは真ではありません（できない）が、ランダム変数は依然として真ですは分布関数（したがって、逆変換サンプリングを引き続き使用できます）。証明はShorack、GR（2000）にあります。統計学者のための確率。ch.7。$Y=F_X(X)$$U(0,1)$$Z=F_{X}^{-1}(U)$$F_X$