すべてのARIMA（1,1,0）モデルはAR（2）モデルと同等ですか？

次の形式のARIMA（1,1,0）モデルを使用して近似したい時系列あるとします。$x_t$

$\Delta x_t = \alpha \Delta x_{t-1} + w_t$

これは次のように書き直すことができます。

$x_t - x_{t-1} = \alpha ( x_{t-1} - x_{t-2} )+ w_t$

$x_t = ( 1 + \alpha)x_{t-1} - \alpha x_{t-2} + w_t$

最後の方程式は、係数がおよび AR（2）モデルを表しています。によっては、このAR（2）モデルが非定常である可能性があることを認識しています。ただし、最初に差分を取っていた場合、モデリングしているシリーズは静止していてはいけません。$1+\alpha$$-\alpha$$\alpha$

モデルが定常的でない場合は、差分を使用する必要があることを知っています。しかし、AR（2）モデルとARIMA（1,1,0）モデルを使用した場合、結果はどのように異なりますか？私は（Rが示唆するように）収束に問題があると思います。ただし、Rに近似を実行するように依頼すると、Rは両方を実行し、係数は（ほとんど）上記の私の観察と一致します。ただし、予測は明らかに異なります。

誰かがこれに光を当てたり、私に良い参照を指摘したりできれば、私はそれを感謝します。

これは、両方のモデルを生成するために使用したRコードです。

> set.seed(2)
> x <- arima.sim(n = 1000, model=list(order=c(1,1,0), ar=c(0.3)))
> plot(x)
> arima(x, order=c(1,1,0))

Call:
arima(x = x, order = c(1, 1, 0))

Coefficients:
         ar1
      0.3291
s.e.  0.0298

sigma^2 estimated as 1.03:  log likelihood = -1433.91,  aic = 2871.81
> arima(x, order=c(2,0,0))

Call:
arima(x = x, order = c(2, 0, 0))

Coefficients:
         ar1      ar2  intercept
      1.3290  -0.3294    50.9803
s.e.  0.0298   0.0299    35.9741

sigma^2 estimated as 1.03:  log likelihood = -1438.93,  aic = 2885.86
Warning messages:
1: In log(s2) : NaNs produced
2: In log(s2) : NaNs produced
3: In log(s2) : NaNs produced
4: In arima(x, order = c(2, 0, 0)) :
  possible convergence problem: optim gave code = 1

ARIMA（1,1,0）の予測では、という制限が適用されます。$d=1$

AR（1）の場合とARIMA（0,1,0）の場合の方が見やすいかもしれません。後者は、 であり、最適な予測はすべての地平線で0です（は値ゼロ）。自体を予測することを目的とする場合は、最後のサンプル値を取得して、予測の変化を累積します。基本的に、私たちは明日の価値が今日の価値に今日から明日への予想される変化を加えたものになると期待しています。

したがって、ここでは何の変化も期待しないため、そのようなランダムウォークの最適な予測は、すべてのに対して（はサンプル観測の最後）です。$y_T$$T$$h=T+1,\ldots$

一方、AR（1）モデルを近似する場合、推定を取得し、AR（1）モデルからとして最適な予測を生成し 推定誤差（通常、有限サンプルの場合）がが真の値1と異なる場合、予測は異なります。$\hat\alpha$

同等性は定義に依存します。一般的なARMA（p、q）プロセスは、次の方程式の解である確率的プロセスとして定義できます。

ここで、はホワイトノイズプロセスです。多項式および共通の根がないことを必要があります。方程式が一意に定義される順序。$Z_t$$\phi(z)=1-\phi_1 z-...-\phi_pz^p$$\theta(z)= 1+\theta_1z+...\theta_pz^p$

ここで、この方程式に解がある場合に問題が発生します。答えは、多項式およびのプロパティに依存しています。多項式の単位円に根がない場合、方程式には定常解があります。$\phi(z)$$\theta(z)$

したがって、この意味では、ARIMA（1,1,0）は静止していないため、AR（2）プロセスではありません。AR（2）方程式を満たすように書くことができますが、多項式は単位円に根を持っているため、方程式を解くことができません。ただし、多項式に単位根がある場合、はARMA（p-1、q）方程式（異なる多項式）を満たします。だから、のために解決することができるとに戻って取得。この違いをマークするには、ARIMA（p、d、q）表記が使用されます。$\phi(z)$$\Delta X_t$$\Delta X_t$$X_t$

つまり、ARMA（p、q）プロセスをARMA（p、q）方程式の定常解として厳密に定義すると、ARIMA（1,1,0）とAR（2）は同等ではなくなります。

Rが正しい係数を見つけ出すことができるという事実は、推定の興味深い特性です。つまり、単位根の場合、OLS [1]は係数の一貫した推定値を与えるが、推論は正しくないことを示すことができます。 、分布の制限が正常ではないため。ADFテストは、このような推定に基づいています。ただし、見積もりが大丈夫であることを示す実際の数学は非常に複雑で、特定の仮定に依存しています。これらの仮定は一般化されていないため、ユニットルートプロセスに通常の推定方法を使用することはお勧めできません。

[1] MLEおよびOLSは、AR（p）タイプの仕様と同等です。