ガウス確率変数の2次多項式の分布

を計算したい

P (Y = a X^{2} + b X + c < 0)

$P(Y=aX^2+bX+c<0)$

ここで、です。モンテカルロを使えば簡単にできます。ただし、私は分析pdfを見つけて計算するように求められました $X \sim N(0,\sigma)$ $f_Y(y)$ $Y$

I = \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y

$I=\int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy$

私は推測あるようになり唯一の数値計算することができます。ただし、これは一変量の積分であるため、非常に高い精度で計算するための数値手法を利用できます。（比較的単純な）式があるので、数値積分を実行できますか？または、モンテカルロ（私の意見では最も賢明なアプローチです）以外、を計算する別の可能性はありますか？ $f_Y(y)$ $I$ $f_Y(y)$ $I$

— DeltaIV
ソース

あなたはか持っているのPDFファイルを見つけるために最初にして、負の実行の上に統合するか、方法は以下のPDF見つける回避mpiktasが指摘し使用することができます？

Y

$Y$

Y

$Y$

— Dilip Sarwate 2016

@DilipSarwate、質問ありがとう。1.を見つけ、2。統合するように特別に要求されました。それで、まさにそれをする答えは素晴らしいでしょう。一方、リクエストが不当であり、すでに2つの非常に優れたメソッド（MCと@mpiktas）が正常に機能していることを指摘できます。したがって、あなたの質問への答えは：私は、厳密にはしていないとしている（したがって、リクエスタとまた別の議論を避けて）（私がいない場合、私は解雇ではないよ）が、私は確かにそれを行うことができることいただければ幸いです。

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

[- \infty, 0]

$[-\infty,0]$

— DeltaIV

はい、はい。なお標準ガウスCDFで表すことができる使用@mpkitasの回答に記載されている方法。導関数をとると、はpdf与えます。また、あなたが実際に見つけるために、PDFファイルを統合to_explicitly_必要がないこと、あなたの要求者に伝えるするので値がすでに決定しています。

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {a X^{2} + b X + c - y \leq 0}

$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{aX^2+bX+c-y \leq 0\}$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

I

$I$

I = F_{Y} (0)

$I = F_Y(0)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate素晴らしい！つまり、mpkitasの答えのとが関数になり、その後、派生のチェーンルールを適用するだけです。どうもありがとうございました！

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

y

$y$

— DeltaIV

であることに注意してください。ここで、とは多項式根です。とは実数で等しくないと想定する必要があります。そうでない場合、問題の確率はゼロまたは1です。 $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ $x_1$ $x_2$ $ax^2+bx+c$ $x_1$ $x_2$

2つのケースがあります。

$a>0$ 、次に。 $P(aX^2+bX+c<0) = P(x_1<X<x_2)$
$a<0$ 、次に $P(aX^2+bX+c<0) = P(X<x_1 \cup X>x_2)=1- P(x_1<X<x_2).$

以来、正常である確率は、通常の変数の累積分布関数を用いて計算することができます。 $X$

— mpiktas
ソース

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

Y

$Y$

@ JohnA.Ramey主な質問のコメントを参照してください。

— Dilip Sarwate 2016