表面上の点から球の中心と半径を推定する

データポイントが球の表面から（ある程度の摂動を伴って）サンプリングされたと仮定すると、その球の中心をどのように回復できますか？

検索の結果、「球形回帰」というラベルの付いた論文が見つかりましたが、同じことをしているようには見えませんでした。多分私はそれを理解していませんでした。

線形回帰に似た、球の表面からの一連のデータポイントの合計二乗距離を最小にする球の中心点と半径を求める簡単な式はありますか？

編集1：

ノイズは、球の半径よりも2桁または3桁小さく、ガウス分布は均一であると想定できます。ただし、サンプル自体は球の表面から確実に均一に描画されるわけではありませんが、表面上のいくつかのパッチにクラスター化されている可能性が高く、すべてが1つの半球内にある可能性があります。でデータを処理するソリューション$\mathbb R^3$ 結構ですが、任意の次元の一般的な解決策も素晴らしいです。

編集2：

線形回帰を使用した場合、私が賢明な答えを得る可能性は何ですか、 $y = X\beta + \epsilon$、二乗された成分が他のパラメーターから独立しているふりをする7次元空間で：

$\begin{align} X &= \begin{array}{ccccccc}[-2x& -2y&-2z&1&1&1&-1]\end{array}\\ \beta &= \begin{array}{ccccccc}[x_0 & y_0 & z_0 & x_0^2 & y_0^2 & z_0^2 & r^2]'\end{array}\\ y &= x^2+y^2+z^2\end{align}$

せいぜい、私のエラーメトリックは少し変わっていると思います。最悪の場合、ソリューションは一貫性に近づくことさえありません。
...または4つの同じ列があると、回帰を行おうとすると特異行列が得られるため、これはばかげています。

編集3：

だから、これらは私のオプションのようです：

1. いくつかのコスト関数を使用した非線形数値最適化： $f(x_0,y_0,z_0,r|X) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \left(r - \sqrt{(x_i-x_0)^2+(y_i-y_0)^2+(z_i-z_0)^2}\right)^2$
2. ハフ変換：考えられる空間または考えられる中心とデータポイントの周りの半径を離散化します。各ポイントは、特定の半径の離散化の一部となる可能性のある中心に投票します。ほとんどの票が勝つ。球の数が不明である可能性がある場合、これは問題ないかもしれませんが、球が1つだけの場合は、面倒なソリューションです。
3. 4ポイントのグループをランダムに（または体系的に）選択し、分析的に中心を計算します。条件が悪い場合、サンプリングを拒否します（ポイントはほぼ同一平面上にあります）。外れ値を拒否し、平均中心を見つけます。それから平均半径を見つけることができます。

誰かがより良い方法を持っていますか？

以下は、R最小二乗法を使用した1つのアプローチを示すコードです。

# set parameters

mu.x <- 8
mu.y <- 13
mu.z <- 20
mu.r <- 5
sigma <- 0.5

# create data
tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z


# function to minimize
tmpfun <- function(pars) {
    x.center <- pars[1]
    y.center <- pars[2]
    z.center <- pars[3]
    rhat <- pars[4]

    r <- sqrt( (x-x.center)^2 + (y-y.center)^2 + (z-z.center)^2 )
    sum( (r-rhat)^2 )
}

# run optim
out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(x))/2), tmpfun )
out


# now try a hemisphere (harder problem)

tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp[,1] <- abs(tmp[,1])
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z

out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(y))/2), tmpfun )
out

使用しない場合Rでも、ロジックに従って、それを別の言語に翻訳できます。

技術的には、radiusパラメータは0によって制限されますが、真の半径に比べて変動が小さい場合は、unboundedメソッドが正常に機能するか、optimが制限付き最適化を実行するためのオプションを持っています（または、最小化する関数の半径）。