ゼロ相関混合モデルはいつ理論的に健全ですか？

混合効果モデリングの分野のリーダーからの以下のブロック引用は、ランダム効果（「ZCP」モデル）間の相関がゼロのモデルの座標シフトがモデル予測を変更すると主張しています。 しかし、誰かが自分の主張を詳しく説明したり、さらに正当化することはできますか？

問題のステートメントは、ベイツらの 2015年の論文lme4、lme4を使用した線形混合効果モデルのフィッティング、7ページ、2番目の段落（ダウンロードリンク）からのものです。 $\newcommand{\slope}{\text{slope}} \newcommand{\int}{\text{int}} \newcommand{\intercept}{\text{intercept}}$

ここに彼らが書いたものの言い換えがあります：

ランダム相関モデルの複雑さを軽減するためにゼロ相関パラメーターモデルが使用されますが、1つの欠点があります。勾配と切片がゼロ以外の相関を持つことが許可されているモデルは、連続予測子の加法シフトに対して不変です。

相関関係がゼロに制約されると、この不変性は崩れます。予測変数の変化は、必然的に、推定された相関、モデルの尤度と予測の変化につながります。¹たとえば、推定された被験者間標準偏差に推定された相関、つまり^2を掛けた比率に等しい量だけDays [ 伴う予測子]をシフトするだけで、fm1の相関を除去できます。 $\slope$

$ρ_{slope : intercept} \times \frac{σ_{slope}}{σ_{intercept}}$ $\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\slope}}{\sigma_{\intercept}}$
このようなモデルの使用は、理想的には、予測子が比率スケールで測定される場合に限定する必要があります（つまり、スケール上のゼロ点は、便宜上または慣例によって定義された場所だけでなく、意味があります）。

質問：

上記の上付き文字に合わせて番号が付けられています...

予測変数の測定に使用される座標系のシフトは、推定相関の変化につながり、それにより非ゼロ相関につながることがわかります。これは、予測子座標系のシフト下でゼロ相関パラメーターモデルが不変ではないというステートメントをサポートするため、非ゼロのランダム効果相関を持つモデルは、適切な座標シフトによってゼロ相関を持つモデルに変換できるということです。上記の言い換えの3番目の段落もサポートしていると思います。ZCPモデル（およびゼロインターセプトモデル—以下を参照してください。ただし、これを確認してください）は、特定の特別な座標系を使用するモデルでのみ有効です。 しかし、なぜそのようなモデルの座標シフトが予測を変更する必要があるのでしょうか？

たとえば、座標のシフトは、グループ平均の固定効果切片項も変更します（以下を参照）が、予測子の座標系の原点の変更に適切な量だけです。新しい座標系がシフトされた予測子に使用されている限り、このような変更はモデル予測に影響しません。

詳述すると、シフトされた予測子に関連付けられた固定効果の傾きが正で、予測子の座標系の原点が負の方向にシフトされた場合、固定効果の切片は減少し、関連するランダム効果の切片も変更されますそれに応じて、シフトされた座標系での「原点」の新しい定義（したがって、インターセプト）を反映します。ところで、この推論は、ゼロ切片モデルもそのようなシフトの下で不変ではないことを暗示していると思います。

私はこれを解決する合理的な方法を持っていると思いますが、ベイツら とは少し異なる答えを導き出しました。どこか間違っていますか？

以下は私の答えです。それに続いて、どのように結果にたどり着いたかを説明します。Iがずれた場合に要約すると、私はそれを見つけるによって負原点をので、新しい座標系において予測は値を取ることが、、次いで相関新しい座標系で次の場合はゼロです。 $x$ $\delta > 0$ $x' = x + \delta$ $\rho'$

$δ = ρ_{slope : intercept} \times \frac{σ_{intercept}}{σ_{slope}}$ $\delta=\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\intercept}}{\sigma_{\slope}}$
これは、ベイツらの結果とは異なります。

私の方法の説明（オプションの読み取り）：2つのランダム効果、と（略して）の相関関係があるとします。両方ともレベル（からまでの番号）の同じグループ化因子に対応します。）。また、ランダムがペアになっている連続予測子はと呼ばれ、製品がレベル値への条件付き寄与を生成するように定義されているとします $\slope$ $\intercept$ $\int$ $k$ $i$ $1$ $k$ $\slope$ $x$ $x\times\slope_i$ $\hat y_{obs}$ $i$ 関連するグループ化要因の。実際には、MLEアルゴリズムは尤度を最大化するためにの値を決定しますが、以下の式は、ランダム効果の乗数である均一な変換の効果を決定する次元的に正しい方法であると考えられます。 $\rho$ $x$ $\slope$

ρ_{slope : int} = \frac{E_{i} [({slope}_{i} - \bar{{slope}_{i}}) ({int}_{i} - \bar{{int}_{i}})]}{\sqrt{E_{i} [({slope}_{i} - \bar{{slope}_{i}})^{2}] E_{i} [({int}_{i} - \bar{{int}_{i}})^{2}]}}

$\rho_{\slope:\int} = \frac{E_{i}\big[(\slope_i -\overline {\slope_i})(\int_i -\overline {\int_i})\big]}{\sqrt{E_{i}\big[(\slope_i -\overline {\slope_i})^2\big]E_{i}\big[(\int_i-\overline {\int_i})^2\big]}}$

結果を得るために、まず切片の古い値を、切片の新しい値（ここでは、、「左向き」 '予測子原点のシフト）。次に、結果の式を上記式の分子に代入し、新しい座標系で共分散がゼロになるの値を計算しました。上記の質問1で述べたように、固定効果インターセプト項も同様に変化することに注意してください：。（ここでは、 $\int' = -\delta \times \slope + \int$ $\delta > 0$ $x$ $\rho$ $\delta$ $\beta_0' =- \delta\times\beta_x + \beta_0$ $\beta_x$ は、シフトされた予測子関連付けられた固定効果予測子） $x.$

r mixed-model lme4-nlme

— クラールポール
ソース

いくつかの大まかなアイデア。は、（1）固定勾配が変化するか、（2）ランダム勾配が変化すると変化します。（1）の場合：固定勾配は、クラスター固有の勾配の加重平均と見なすことができます。この場合、重みは推定分散成分に一部依存します。共分散を省略すると、変数が変更されます。推定値、重みの変更、固定勾配の変更。（2）の場合：ランダムな勾配は、同じ重みに比例して固定勾配に向かって「収縮する」クラスター固有の勾配です。共分散を省略すると、変数が変更されます。推定、収縮の程度の変更、ランダムな勾配の変更。

\hat{y}

$\hat{y}$

— ジェイクウェストフォール

これがあまり注目されていないことに少し失望しています、@ clarpaul。あなたは自分の答えを入れるだけかもしれません。他に誰も答えないなら、私はあなたに賞金を与えます。

— GUNG -復活モニカ

@gungに感謝します。私の答えは、上記の「編集」と密接に一致します。賞金はいいでしょうが、期限が切れるまで時間がありません。基本的な理由付けに同意し、少し時間をかけて磨いてもらえれば、誰でも私の「編集」を取り上げて答えにすることをお勧めします。

— クラールポール

この質問への答えはかなり定義的であることがわかります。ZCPモデルの独立変数の座標をシフトし、制約のない方法で相関関係を展開できるようにした場合、制約条件のない相関関係を持つ線形混合効果モデルは平行移動不変であるため、予測は変わりません（少しの数学でこれを示すことができます）。しかし、定義により、ZCPモデルには制約された相関があります。座標のシフトでは、制約のないLMEモデルの必要に応じて相関関係を作成できません。したがって、ZCPモデルは並進不変ではなく、座標シフトは $0$ モデル予測を変更します。そして、（LMEモデルが賢明な座標シフトに対して不変の翻訳であると予想される場合）そのような座標シフトが意味をなさないモデルのみが、ZCPモデル（言い換えの第3段落で言及された「特別な」モデル）として理論的に賢明です上記のベイツ等）。[注：将来、この回答を修正して、初期ZCPモデルを座標シフトする際に生じる相関関係、および制約のない相関関係を持つLMEモデルが変換不変であることの証明のために導き出した式を含めます。
$\delta$ $x$ $\sigma_{intercept}$ $\rho$ $\sigma_{slope}$ $1/x$ $slope$ $\delta$ 正しい寸法にするため。

— クラールポール
ソース