オペレーター依存のクロス積の名前

あると仮定します $\\n\times p$ マトリックス $\mathbf{M}$ 。異なる列ごとの演算子を使用した異なる変換は、新しい $\\p\times p$ 対称行列 $\mathbf{S}$ 。たとえば、共分散行列 $\mathbf{C}$ 内積演算子を使用して計算できます。これにより、共分散行列の各値は、元の行列の2つの列の内積になります。 $\mathbf{M}$ （で割った $n-1$ ）：

$\mathbf{C} = { 1 \over {n-1} } \mathbf{M}^{T} \cdot \mathbf{M}$

同様に、相関行列 $\mathbf{P}$ によって定義することができます $\mathbf{P}_{ij} = \mathrm{corr}(C_i,C_j)$ どこ $\mathbf{C}_i$ そして $\mathbf{C}_j$ の列です $\mathbf{C}$ 、および $\mathrm{corr}$ は、ピアソンの積率係数のような相関の尺度です。この場合、演算子は2変量相関係数です。

この演算子依存の変換には名前がありますか？

correlation terminology covariance-matrix

— イスマエル・ガリミ
ソース

この回答では、これらのすべてのマトリックスがSSCP X'Xマトリックスの変更である方法を概説しました。さらなる学問的関心のために：Zegers、ten Berge（Psychometrica、1985）は、単一の一般式4の係数で一致します：恒等係数、加成係数（共分散係数に基づく）、余弦、ピアソン相関。

— ttnphns

「グラミアンマトリックス」に関するウィキペディアの記事を信じることはお勧めしません。実際、「グラミアン」は別の意味です。たとえば、因子分析の文献では、この単語は長く（1930年代以降）、「正の半正定行列」の同義語として使用されています。多くのソースでは、「グラム行列」は「グラミアン行列」と同じではありません。

— ttnphns

APLやMathematicaなどの一部のベクトル指向コンピューティングシステムには、このタイプの組み込みの一般化があります。たとえば、reference.wolfram.com / language / ref / Inner.html を参照してください。

— whuber

Ismael：X'Xマトリックスのラベルが必要な場合-異なるフィールドや背景の人々から来ている多くの同義または同等のものがあります。多変量統計データ分析は、最も古い分岐の1つです。そこでは、Sums-of-Squares-and-Crossproductsマトリックスまたは単にCrossproductマトリックスと呼ばれます。上記のコメントで指摘した理由により、GramianまたはGramの単語をあまり使用しないことをお勧めします。

— ttnphns 2016年

@ttnphnsイスマエルの質問はもっと広いと思います、彼はどんな名前でも欲しがっています

f (X_{i}, X_{j})

$f(X_i, X_j)$ マトリックス

f ()

$f()$ 任意の（おそらく対称のみ？）関数（および

X_{i}

$X_i$ の列です

X

$X$ ）; 例えば

p \times p

$p\times p$ 変数間の相互情報の行列または

p \times p

$p\times p$ 何であれ、それらの間の距離共分散の行列。イスマエル、私は正しく理解しましたか？もしそうなら、その一般的な名前はないと思います。

— アメーバ2016年

質問の私の理解は、それが任意の名前を要求することです $p\times p$ マトリックス $\mathbf F$ 要素あり $F_{ij} = f(\mathbf X_i, \mathbf X_j)$ 、どこ $\mathbf X_k$ の列です $n\times p$ データ行列 $\mathbf X$ そして $f(\cdot, \cdot)$ 任意の関数です。

これは、共分散行列の一般化と見なすことができます（ $f$ は共分散）、相関行列（もし $f$ 相関）、二乗和とクロス積の行列（もし $f$ はドット積です）など

たとえ $f$ 対称で「賢明」であり、結果の行列 $\mathbf F$ 正定できないことがあります。これは例です $f$ 相互情報です（このホワイトペーパーのタイトルに記載されています）。

の総称があるとは思えません $\mathbf F$ 。名前を付ける必要がある場合は、発明する必要があると思います。もしあなたの $f$ 変数間のいくつかの関係を測定することになっています $i$ そして $j$ 、おそらく $\mathbf F$ 「相互関係マトリックス」または単に「関係マトリックス」と呼ぶことができますか？

— アメーバ
ソース

カーネルヒルベルト空間を再現する言語を使用して、

F

$\mathbf F$ カーネルに関連付けられたグラム行列になる

f

$f$ 、提供

f

$f$ 標準条件を満たす。

— 枢機卿

@cardinal私はこれを私の回答で言及すべきかどうか考えていました。しかし、通常、カーネル行列（グラム行列）は、

n \times n

$n\times n$ つまり、サンプル間の「関係」（カーネル距離）を測定しますが、ここではOPが

p \times p

$p \times p$ 変数間の「関係」を測定する行列。だから私はそれをカーネル/グラム行列と呼ぶのは混乱するかもしれないと考えました。どう思いますか？（また、明らかに相互情報など、カーネルの条件を満たさない関数を検討することもできます。）

— amoeba

（+1）ある意味で、「行」と「列」の違いは少し表面的に見えるかもしれませんが、私のコメントの提案によって引き起こされる可能性のある混乱について、非常に有効な点を挙げたと思います。

— 枢機卿

グラム行列との違いを明確にしていただきありがとうございます。非常に役立ちます。

— Ismael Ghalimi 2016年